Распространение электормагнитной волны в анизотропных средах

Распространение волн в анизотропных средах в присутствии  внешнего поля Распространение волн в анизотропных средах в присутствии внешнего поля 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Анизотропная среда - среда, макроскопические свойства которой различны в различных направлениях, в противоположность среде изотропной, где они не зависят от направления. Анизотропия среды может быть обусловлена несколькими причинами:

• анизотропией образующих её частиц
• анизотропным характером их взаимодействия (дипольным, квадрупольным и др.)
• упорядоченным расположением частиц (кристаллические среды, жидкие кристаллы)
• мелкомасштабными неоднородностями (преимущественной пространственной ориентацией кристаллических зерен в поликристаллах или молекул в аморфных средах)

В то же время анизотропные или анизотропно взаимодействующие частицы могут образовывать изотропную среду (например, аморфные вещества или газы и жидкости, в которых изотропия обусловлена хаотическим движением и вращением частиц). Анизотропная среда может образоваться под действием внешних полей, ориентирующих или деформирующих частицы.

 Анизотропные  свойства сплошной среды описывают  тензорными величинами. В неоднородной анизотропной среде они меняются от точки к точке.

Описание  анизотропной диэлектрической  среды 

Анизотропия диэлектрических свойств среды проявляется в зависимости проекций вектора поляризованности от проекций напряженностей электрического поля.

                                                      (1)

Где , , - проекции поляризованности, - диэлектрическая постоянная, совокупность -  тензор диэлектрической восприимчивости. Для упрощения формул будем нумеровать оси X, Y, Z соответственно индексами 1, 2 , 3. Тогда (1) может быть записана:

                                                                                                (2)

Соотношение между вектором электрической индукции (электрического смещения) D и поляризованностью Р:

            (3)

справедливое  как для изотропной, так и для  анизотропной сред, примет для анизотропной среды вид:

                                      (4)

где - символ Кронекера.

Иначе

  ,                                                                                                 (5)

где                                                                               (6)

                                                                     

Плоские волны в анизотропной среде 

      Рассмотрим  анизотропную однородную среду без  пространственной дисперсии. В системе координат, совпадающей с главными осями тензора диэлектрической проницаемости, этот тензор имеет диагональный вид:

               (6)

Если можно  пренебречь поглощением, то все компоненты тензора будут вещественными.

      Как и в случае изотропной среды, решение уравнений Максвелла ищем в виде плоской волны, распространяющейся в направлении заданного вектора :

       ,

       ,       (7)

       .       

Необходимо определить векторы  показатель преломления , скорость света.

Уравнение Френеля 

      Для полей (7) уравнение Максвелла и материальные уравнения принимают вид:

                (8)

                (9)

                 (10)

Из уравнений (8) и (9) следует, что векторы взаимно ортогональны: .

Умножая (9) векторно на , учитывая (8) и раскрывая двойное векторное произведение, получим

       .       (11)

Отсюда следует, что вектор лежит в плоскости векторов и (см. рис.1).

               (12)

Поэтому вектор Пойнтинга  , определяющий направление переноса мощности, т.е. групповую скорость плоской волны, в случае анизотропных сред не направлен по вектору , определяющему направление фазовой скорости волны.

      Материальное  уравнение (10) можно записать в виде

       ,         (13)

где обратный тензор. В системе координат x,y,z, совпадающей с главными осями тензора , обратный тензор также имеет диагональный вид:

               (14)

Подставляя в  левую часть (11) выражение (12) получим:

       ,  .     (15)

Перепишем (15) в виде

       .        (16)

Умножим (11) на , просуммируем по всем значениям и учтем, что :

       .      (17)

Уравнение (17) служит для нахождения показателя преломления среды вдоль направления и называется уравнением Френеля. Это уравнение можно также записать в виде

. (18)

Это биквадратное уравнение относительно неизвестной . Оно имеет две пары решений и . Вырождение по знаку тривиально и является следствием возможности распространения волн в противоположных направлениях. Поэтому далее будем предполагать, что величины и положительны. Существование двух решений означает, что в одном и том же направлении могут распространяться две различные плоские волны с разными фазовыми скоростями и . 
 

Линейная  поляризованность и  ортогональность  плоских волн 

      Плоские волны в анизотропной среде отличаются не только фазовыми скоростями, но и  поляризацией. Они линейно поляризованы, а векторы  и у волн с разными показателями преломления и ортогональны.

      Чтобы показать это, удобно ввести систему  координат, у которой ось  направлена вдоль вектора . Из уравнения (17) следует

       ,

       .         (19)

Выразим через согласно (18). Учитывая, что , получим

       ,

       .        (20)

Из (19), (20) следует система уравнений для определения величин , :

       ,

       .       (21)

Так как вещественный тензор симметричен , то его собственные векторы и , отвечающие различным собственным числам и , вещественны и ортогональны:

       .          (22)

Из (16), в частности, следует, что когда волна распространяется вдоль одной из главных осей тензора диэлектрической проницаемости, например вдоль оси z, то ,  , а направления векторов и у соответствующих плоских волн совпадают с направлениями осей x и y. При этом векторы , параллельны векторам ,  и направление вектора Пойнтинга совпадает с направлением фазовой скорости волны . 
 

Оптические  оси анизотропной среды 

      Напомним, что в изотропной среде возможно распространение плоских волн произвольной поляризации. В анизотропной среде в отличие от изотропной плоских волн с круговой или эллиптической поляризацией нет и плоские волны поляризованы в общем случае линейно. Однако в анизотропных средах существуют направления , для которых . Распространяющиеся в этих направлениях плоские волны могут иметь любую поляризацию. Эти направления называют оптическими осями.

      Пусть все элементы тензора диэлектрической  проницаемости разные и для определенности

       .         (23)

Тогда среда  имеет две оптические оси, они  лежат в плоскости  и вдоль этих осей

       .         (24)

Действительно, положив в уравнении Френеля (13) , получим

       .     (25)

Второй множитель  в (25) даст тот же корень, что и первый при условии

       ,   .      (26)

Формулы (26) определяют в плоскости два зеркальных относительно координатных осей и направления.

     Если  у тензора диэлектрической проницаемости  две компоненты из трех совпадают, то среда будет иметь только одну оптическую ось. Из (26) следует, что при оптической осью будет ось , а при - ось .

      Рассмотрим  одноосную среду с компонентами тензора диэлектрической проницаемости  , . Обозначим через угол между направлением распространения волны и оптической осью среды – осью . Из уравнения Френеля (13) следует, что для одной из волн (ее называют обыкновенной) показатель преломления не зависит от угла :

                 (27)

Для другой волны (необыкновенной) показатель преломления  зависит от угла :

       .       (28)

Вектор  в необыкновенной волне лежит в плоскости, проходящей через оптическую ось и вектор , а вектор обыкновенной волны перпендикулярен этой плоскости. В обыкновенной волне векторы и параллельны, поэтому вектор Пойнтинга направлен вдоль .