Релятивістська механіка

Реферат на тему: Релятивістська механіка 

 

Релятивістська  механіка (від лат. relativus - відносний) вивчає закони руху тіл (частинок) зі швидкостями, близькими до швидкості с світла у вакуумі (релятивістськими швидкостями). Особливо значна роль релятивістської механіки у фізиці ядра та елементарних частинок, при розрахунках синхрофазотронів та інших пристроїв, призначених для дослідження будови матерії на атомному та субатомному рівнях.

 

В основі релятивістської  механіки лежить створена А. Айнштайном (Еіnstеіп) теорія відносності, що вивчає просторово-часові властивості фізичних процесів. Оскільки ці закономірності однакові для всіх фізичних процесів, то часто їх ототожнюють із властивостями простору-часу.

Властивості простору-часу залежать від поля тяжіння.

Теорію відносності  у наближенні, коли полями тяжіння можна знехтувати, називають спеціальною. У спеціальній теорії відносності розглядають лише інерційні системи відліку та закономірності перетворення координат і часу при переході від однієї з них до іншої. Властивості простору-часу при наявності полів тяжіння вивчає загальна теорія відносності. Особливу роль відіграє загальна теорія відносності в релятивістській космології, що розглядає структуру та еволюцію Всесвіту в цілому.

 

Роль  світла в теорії відносності

 

У природі відсутні суто механічні взаємодії. Серед  фундаментальних взаємодій, що діють  на відстанях, більших від розміру  атомного ядра, є лише дві - електромагнітна  та гравітаційна, а в спеціальній  теорії відносності суттєва лише одна з них - електромагнітна. Саме тому світло, що є квантами (лат. quantuт - скільки) електромагнітного поля, відіграє особливу роль в теорії відносності. Специфіка електромагнітної взаємодії полягає в тому, що рівняння електродинаміки не інваріантні (лат.invarians - незмінний) відносно перетворень Галілея. Дійсно, швидкість світла у вакуумі обчислена з цих рівнянь, завжди однакова в усіх інерційних системах відліку, що несумісне з законом додавання швидкостей, який випливає з перетворень Галілея. Як наслідок, перетворення Галілея практично виконуються лише при малих швидкостях руху і не виконуються при релятивістських швидкостях.

Перші експериментальні докази справедливості висновків  із рівнянь Максвела були отримані в  кінці XIX ст. вихідцем із території України А. Майкельсоном. Багатократно повторені іншими дослідниками вони підтвердили незалежність швидкості поширення світла у вакуумі від вибору інерційної системи відліку.

Вимірювання швидкості  світла проводять багато віків. На основі спостереження руху супутників Юпітера О. Ремеру в 1675 р. вдалося не лише довести, що швидкість світла скінчена, але й більш менш точно вирахувати її значення. В земних умовах уперше виміряв швидкість світла в повітрі А. Фізо в 1848 р., а у вакуумі - А. Майкельсон у 1932 р. З удосконаленням методики та розробкою нових приладів точність вимірювання невпинно зростала доти, поки не було чітко усвідомлено: швидкість світла у вакуумі пов'язує між собою еталони довжини та часу. Відповідно до прийнятої 1983 р. Генеральною конференцією мір і ваг концепції швидкість світла у вакуумі не вимірюють. Вона вважається константою і становить с =299792458 м/с точно.

 

Постулати спеціальної теорії відносності

В основу класичної  механіки покладена гіпотеза Г. Ньютона  про існування абсолютного простору та абсолютного часу, з використанням яких вводиться поняття систем відліку, зокрема інерційних. Принцип відносності Г. Галілея стверджує: закони природи, що визначають зміни стану механічних систем, однакові в усіх інерційних системах відліку.

А. Айнштайн поширив  принцип відносності з суто механічних явищ на всі явища природи. Подамо формулювання першого (часто його називають спеціальним) принципу відносності: закони природи, що відповідають за зміни стану фізичних систем, не залежать від вибору інерційної системи відліку. Сформульований принцип встановлює рівноправність лише інерційних систем відліку. Додамо, що в загальній теорії відносності А. Айнштайн узагальнив принцип відносності на довільні неінерційні системи відліку.

Другий принцип  відносності стосується незалежності швидкості поширення світла у вакуумі від руху джерела чи приймача. Цей принцип без змін застосовують і в загальній теорії відносності. Підтвердження незалежності швидкості світла у вакуумі від руху джерела та приймача найчастіше спираються на досліди Майкельсона чи докази голландського астронома Вілема де Сіттера.

Крім двох принципів  відносності особливо важливим атрибутом  релятивістської механіки є принцип відповідності енергії та маси:

E=mc (1)

 

Твердження, що маса пропорційна до енергії, було вперше висловлене      в       1881 р.      Дж.Дж. Томсоном     для електромагнітних хвиль. О. Гевісайд у 1887 р. поширив його на матеріальні тіла. У ті часи в механіці ще не існувало єдиного погляду на саме поняття енергії, тому таке твердження носило екстраординарний характер. Вперше експерименти з вивчення залежності маси від кінетичної енергії були проведені В. Кауфманом у 1901-1903 рр. З розробкою Е.О.Лоуренсом циклотрона всі сумніви щодо цієї залежності відпали самі собою.

 

Рівняння  руху матеріальної точки в релятивістській механіці

 

Якщо в класичній  механіці для опису динаміки матеріальної точки достатньо лише другого  закону Ньютона, то в релятивістській механіці необхідною умовою є його сумісне виконання із законом збереження енергії:

(2)

 

(3)

Зважаючи,  що в релятивістській  механіці  маса  матеріальної точки може змінюватися, перепишемо рівняння (2) у вигляді:

 

        (4)

Швидкість зміни маси визначимо з (3) з урахуванням зв’язку (1):

 

  (5)

Підставивши (5) у (4), отримаємо основне рівняння динаміки матеріальної точки в релятивістській механіці

 

  (6)

або, як його частіше записують 

 

  (7)

                                                   

Динаміка матеріальної точки в релятивістській механіці, відповідно до рівняння (7), суттєво відрізняється від її динаміки в класичній механіці. По-перше, напрями пришвидшення та сили в релятивістській механіці не завжди збігаються. По-друге, величина пришвидшення суттєво залежить як від величини швидкості руху частинки,  так  і від  кута  між  напрямами  сили та  швидкості.  При прямуванні швидкості руху до с пришвидшення частинки прямує до нуля,   тобто   частинці   з   ненульовою   масою   спокою   досягнути швидкості світла неможливо. Важливо наголосити, що рівняння (7) старанно підтверджене експериментально.

 

Залежність  релятивістської маси від швидкості  руху

 

Релятивістська  механіка використовує залежність маси частинок від кінетичної енергії, тобто  від їхньої швидкості. Виходячи з рівняння (3) легко встановити явну залежність маси від швидкості руху. Так,

 

 

(8)

 

Розділивши  змінні у (8), перетворимо його до наступного вигляду:

 

 

(9)

 

Інтегруючи (9), матимемо зв’язок

 

 

  (10)

 

з якого після  введення позначення  т₀  для маси спокою, отримаємо вираз явної залежності релятивістської маси від швидкості:

 

   (11)

На мал. 1 наведено графічну залежність відношення релятивістської маси до маси спокою від зведеної   швидкості   руху частинки

              Видно,    що    релятивістська

маса суттєво  відрізняється від маси спокою лише при швидкостях, більших    від    половини    швидкості світла у вакуумі, а при наближенні швидкості руху до швидкості с, релятивістська маса різко зростає.

 

 

Енергія спокою та кінетична енергія

 

Зі співвідношення E=mc та p=mv, враховуючи залежність (11), можна отримати зв’язок між енергією, імпульсом та масою спокою матеріальної точки. Дійсно, піднісши ці вирази до квадрата, матимемо:

Виключимо з  цих співвідношень швидкість v. Для цього поділимо перший вираз на с та віднімемо від нього другий. У результаті отримаємо:

 

 

(12)

Якщо частинка нерухома, то її імпульс дорівнює нулю. Величину

E=mc                                                  (13)

називають енергією спокою частинки. Для частинок із нульовою масою спокою називають кінетичною енергією:

 

(14)

 

Поняття потенціальної  енергії в релятивістській механіці відсутнє.

 

Формули Лоренцо. Геометризація систем відліку

 

Після того. як Г.К.Герц у 1888 році   експериментально підтвердив існування електромагнітних хвиль, передбачених теорією Д. Максвела, інтерес до її вивчення значно посилився. Тоді ж В. Фохт вперше отримав формули перетворення координат та часу при переході від однієї інерційної системи відліку { К. Г } до іншої {К' ,Г'}, як зображено на мал. 2 (тут використано позначення: К - система координат, Г - годинник), що залишали інваріантними рівняння Максвела:

(15)

                              (16)

                                            

 

 

  Тут v   - швидкість руху системи координат    К' відносно    K, а               

                                                       зведена  швидкість цього руху. У фізиці названі рівняння по праву носять ім'я визначного нідерландського фізика Г.А. Лоренца, який наново відкрив їх у 1904 р. Нижче у табл. 1 наведено порівняння спеціальних перетворень (коли рух системи відбувається вздовж осі х) Галілея та Лоренца. У релятивістській механіці змінюються не лише координати, хід часу у різних системах відліку залежить від швидкості їхнього руху. Про можливість подібних ефектів розмірковували ще декілька тисяч років тому. Наприклад, у «Рігведі» читаємо: "Що є основою цього світу? - Простір. Все існуюче виникає лише з простору і повертається в нього. Те, що ми називаємо теперішнім, минулим чи майбутнім, вплетене в простір". Аналогічні міркування знаходимо і в німецького філософа Г.В. Гегеля: „матерія є місцем єднання простору і часу". У теорії відносності ця теза формулюється так: без матерії простору-часу не існує.

Таблиця 1

 

Перетворення  Галілея	Перетворення  Лоренца

 

Наслідком таких перетворень є скорочення довжин відрізків у рухомій системі в подовжньому напрямі:

 

                                                                                                                    (17)

та зміни  проміжків часу в рухомих системах:

 

    (18)

 

Проміжок часу між двома подіями  мінімальний у тій системі відліку, в якій події відбуваються. Цей проміжок часу називають власним часом.

Заради  зручності виконання математичних обчислень та для приведення апарату релятивістської механіки до однорідного виду Г. Мінковський геометризував систему відліку, ввівши поняття 4-вимірного простору-часу, в якому три ортогональні просторові координатні осі доповнено перпендикулярною до всіх них уявною четвертою, пов'язаною з ходом часу:

 

(19)

А. Пуанкаре вперше трактував перетворення Лоренца як повертання координат у 4-просторі. Можливість таких перетворень є непрямим свідченням реальності гіпотези про 4-внмірність фізичного простору.

 

Додавання швидкостей у теорії відносності

 

Нехай швидкість  частинки в системі  К'  дорівнює   v', а сама система рівномірно рухається відносно системи К   зі швидкістю v уздовж осі х. Необхідно визначити швидкість цієї частинки в системі К.

Використавши  наведені на мал. 2 позначення, пов'яжемо за допомогою спеціальних перетворень Лоренца елементарні прирости координат на часу в обох системах відліку:

 

(20)

Враховуючи  означення швидкості                                    , отримаємо:

 

(21)

Формули (21) задають  правило додавання швидкостей у  теорії відносності. Зрозуміло, що при  малих швидкостях, коли    v  та   v' значно   менші   від   с.   формули   (21)   асимптотично   переходять   у класичні (що випливають із перетворень Галілея):

 

(22)