Шпаргалка по "Физике"

1.Классификация  линейных уравнений 2-го порядка  на плоскости. Уравнение характеристик.

Основные уравнения математической физики:

1. Волновое уравнение (колебательные процессы).

2. Уравнения теплопроводности (распределения тепла, диффузия).

3. Уравнение Лапласа (стационарные процессы).

 

Рассмотрим линейное уравнение 2-ого  порядка:

 (1)

Уравнение (1) линейное, т. к. функция U и её производные в первой степени.

Предполагается, что  дважды непрерывно-дифференцируема в области .

 

От переменных x, y перейдём к переменным :

Предполагаем, что  и тоже дважды непрерывно дифференцируемы и якобиан в области .

После подстановки в (1) получим линейное уравнение, эквивалентное исходному:

   (1’)

Лемма.

Функция является частным решением уравнения:

 (2)

тогда и только тогда, когда  соотношение  является общим интегралом обыкновенного дифференциального уравнения следующего вида:

  (3)

 

Определение 1.

Уравнение

  (3)

называется характеристическим для дифференциального уравнения

 (1),

а его общие интегралы  называются характеристиками уравнения (1).

 

Рассмотрим характеристическое уравнение (3). Пусть  или . Для определённости пусть . Поделим исходное уравнение (3) на :

 

Возможны три случая:

1. в рассматриваемой области , тогда уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в области .
2. в рассматриваемой области , тогда уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в области .
3. в рассматриваемой области , тогда уравнение (1) называется уравнением параболического типа в области .

Гиперболический тип.

 

1. Эллиптический тип.

 

2. Параболический тип.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Математическая  модель малых колебаний струны.

уравнение поперечных колебаний  струны имеет вид:

Если  .

Если внешней силы нет, то уравнение принимает вид:

3.Задача Коши для уравнения колебаний струны. Формула Даламбера.

Обозначим .

Задача Коши состоит в том, чтобы  найти функцию  , непрерывную и ограниченную в замкнутой области в , удовлетворяющую уравнению колебания струны:

 (11)

и начальным условиям:

  (12)

Решение задачи Коши (11), (12) даётся формулой (формула Даламбера):

 

4.Устойчивость  решения задачи Коши для уравнения  колебаний струны.

Пусть – решение задачи (11), (12), а функция – решение задачи:

Докажем, что  и , где T – фиксировано : если и , то .

5. Постановка краевых задач для уравнения колебаний струны.

Краевая задача для уравнения  состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения,  удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.

Начальное условие имеет вид:

Будем рассматривать только два  вида граничных условий. Пусть  – конец струны.

1. Граничное условие I рода (конец движется по закону ):

Если  , то говорят, что конец жёстко закреплён.

2. Граничное условие II рода (задана сила натяжения):

Если  , то говорят, что конец свободен.

Таким образом, I краевая задача для струны имеет вид:

Функция должна быть непрерывна в , имеет в непрерывную производную , имеет в производные .

II краевая задача имеет вид:

Требуем, чтобы функции  были непрерывны в , а функции непрерывны в .

6. Краевая задача о малых колебаниях полуограниченной струны с закреплённым концом. Метод продолжения.

Рассмотрим краевую задачу для полуограниченной струны :

Предположим, что  .

Продолжим функции  нечётным образом на :

Таким образом, решение задачи (1) – (3) имеет вид:

7. Решение первой краевой задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье

Рассмотрим задачу:

Требуется найти функцию, непрерывную  в  , имеющую в непрерывную производную и непрерывные в производные , удовлетворяющую (1) – (3).

      (7)

 

Равенства (5) и (6) выполнены, если:

      (8)

Таким образом, формальное решение  задачи (1) – (3) имеет вид ряда (4), где  коэффициенты вычисляются по формулам (7), (8).

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Интеграл энергии для волнового уравнения.

Найдём выражение для  энергии малых поперечных колебаний  струны. Предполагаем, что в некоторый  момент времени струна находится в положении равновесия, то есть .

 

 (5)

 

Интеграл (5) называется интегралом энергии  для уравнения колебаний струны.

9. Единственность решения первой краевой задачи для уравнения струны.

Рассмотрим первую краевую  задачу:

Предполагаем, что  .

 

Теорема 1.

Пусть – решения задачи (6) – (8). Тогда .

10. Уравнение Лапласа.  Постановка краевых задач для  уравнения Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет  вид:

, где  – оператор Лапласа. (1)

Определение 1.

Функция называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению (1) в . Здесь – ограниченная область из .

11. Формулы Грина для оператора Лапласа.

Первая формула Грина:

(2)

Вторая формула Грина:

(4) 

Формулы Грина можно доказать при  условии, что  . Далее считаем, что в формулах (2), (4) .

 

12. Интегральное представление гармонических функций.

 

Пусть – ограниченная область в с гладкой границей . Пусть функция .

Основная интегральная формула  Грина:

(5)

Если в формуле (5) U – гармоническая в функция, то получаем интегральное представление гармонической функции:

    (6)

13. Свойства гармонических функций.

Пусть функции  , тогда по I-ой формуле Грина:

    (7)

Если, кроме того, функция  – гармоническая в , то формула (7) имеет вид:

     (8)

(8) – вид I-ой формулы Грина для гармонической функции.

Докажем следующие свойства гармонической  функции  :

1. Если , то в ;
2. Если , то в ;
3. .

14. Теорема о среднем для гармонических функций.

Теорема 1.

О среднем (для  гармонических функций).

Пусть – гармоническая функция в области . Тогда для любой точки и любой сферы

15. Принцип максимума для гармонических функций.

Пусть – ограниченная область с границей .

Теорема 1.

Пусть функция  гармоническая в , тогда функция достигает своих в максимального и минимального значений на границе области.

 

 

 

Теорема 2.

Пусть – связное множество, функция гармонична в . Если функция достигает максимального (минимального) в значения внутри области, то в .

16. Следствия из  принципа максимума для гармонических  функций. Устойчивость решения  задачи Дирихле.

Рассмотрим задачу:

  (2)

Теорема 4.

Пусть функции гармоничны в . Если , то .

Теорема 5.

Пусть функции гармоничны в .

Если  , то .

Теорема 6.

Пусть гармонична в .

Если  , то .

Пусть – решение задачи:

  (3)

Пусть – решение задачи:

  (4)

Теорема 7.

Устойчивость  решения задачи Дирихле.

Решение задачи Дирихле (3) в  классе непрерывных в функций устойчиво.

17. Единственность  решения задачи Дирихле.

Рассмотрим задачу:

  (2)

Теорема 3.

Единственность  решения задачи Дирихле.

Пусть – решения задачи (2). Тогда в .

18. Задача Дирихле  в круге. Метод Фурье.

Пусть .

Рассмотрим задачу Дирихле:

Предполагаем  .

Перейдём к полярным координатам. Обозначим:

Получаем задачу:

 

 (3)      

1. Ряд (3) сходится в ;
2. Сумма ряда ;
3. Ряд (3) можно почленно дифференцировать в два раза по и два раза по ;
4. Функции .

 

19.Функция Грина  задачи Дирихле. Решение задачи  Дирихле с помощью функции  Грина.

Пусть – ограниченная область и – граница .

Определение 1.

Функцией Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в области называется функция вида , где – произвольная точка из , – произвольная фиксированная точка из , функция непрерывна по переменной в вместе с частными производными первого порядка (для каждой фиксированной ), – гармоническая в (по переменной ) и при .

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА.

Пусть , тогда справедлива основная интегральная формула Грина:

     (1)

Пусть , – гармоническая в . Тогда по II-ой формуле Грина:

       (2)

Из формулы (4) получаем представление  решения задачи Дирихле (5) с помощью  функции Грина:

(6)  

Если  – решение задачи Дирихле:

то из (6) получаем:

20. Вывод уравнения  теплопроводности.

Уравнение, описывающее процесс распространения тепла имеет вид (уравнение теплопроводности):

Если  , то , где – оператор Лапласа.

 – коэффициент температуропроводности, а показывает, есть ли в теле внутренние источники тепла.

 

21. Постановка  краевых задач для уравнения  теплопроводности.