Стабилизация перевернутого маятника

Сравнивая два уравнения(3) и (4), находим, что для этого нужно, чтобы  

           (5)

Реализовать такое  можно, наблюдая за маятником и измеряя его отклонение и скорость отклонения и сообщая точке опоры ускорение согласно формуле (5). 
 
 
 

Понятие управления объектом 

     Способ управления, задаваемый формулой (5), называют стратегией управления. Как уже говорилось, для её реализации нужно измерять и , и, естественно, прикладывать к точке опоры силу, которая бы сообщала точке опоры требуемое ускорение . Таким образом, для реализации управления нужна измерительная и исполнительная системы. В цирке обе эти функции с успехом выполняет жонглёр.

    

     Итак,  алгоритм решения задачи  стабилизации перевернутого маятника будет следующим: 

1) Записываем  координаты маятника в движущейся  системе отсчёта;

2) Переходим  в инерциальную систему отсчёта;

3) Дифференцируем  координаты по времени, чтобы  найти  ;

4) Находим  ;

5) Находим  кинетическую и потенциальную  энергию;

6) Пишем  функцию Лагранжа  ;

7)  Записываем  уравнение Лагранжа (уравнение колебаний)  ;

8) Находим  ;

9) Результат  дифференцируем по времени;

10) Ищем  производную  ;

11) Подставляем  всё в уравнение Лагранжа;

12) Вводим  ограничение малых углов, получаем  дифференциальное уравнение второго  порядка;

13) Выбираем  стратегию управления в виде , где , а ;

14) Составляем  определитель по системе уравнения  колебаний и стратегии управления. Раскрывая определитель, анализируем  полученное выражение относительно  его коэффициентов, определяем  при каких значениях коэффициентов равновесие будет типа фокус или узел.   

Описанный процесс управления можно изобразить схемой, показанной на рис. 2. Схема включает объект управления – перевёрнутый маятник, на который можно воздействовать, перемещая его опору; систему измерения угла и угловой скорости ; систему управления, реализующую стратегию управления и силовое воздействие, передвигающее опору перевёрнутого маятника и сообщающее ей требуемое стратегией управления ускорение. 
 
 
 
 

Принципиальная

схема    стабилизации стоящего вертикально  вверх маятника, отображающая основной принцип  управления – обратную связь.

                          

Рис. 2.

     Стратегия управления (5) линейна по и , так что , причём, для устойчивости требуется, чтобы , а . При перевёрнутый маятник также устойчив, но его колебания возле равновесия не затухают, так как они описываются осциллятором (4) с

Первый  член стратегии управления - это управление по отклонению маятника . Согласно этому члену, основание маятника нужно перемещать ускоренно в ту же сторону, что и наклон маятника, т.е. при ,а при .

     Следующий член корректирует величину ускорения , учитывая угловую скорость вращения маятника. Если маятник движется в ту же сторону, что и его отклонение, то это приводит к увеличению необходимого ускорения по сравнению с членом , напротив, если он движется в сторону, обратную по отношению к отклонению, то это ускорение уменьшается по величине, становясь меньше .

  ;

Преобразуем, это уравнение так, чтобы его  можно было смоделировать в MATLAB.

Делаем  замену:

;

 

Стратегия управления:

;

 

-состояние системы;                         

-новая математическая модель перевернутого маятника 

                                      

В результате моделирования мы можем исследовать  стабильность системы в зависимости от её параметров. Мы примем параметры системы , начальное отклонение 45 градусов, масса не существенна. И будем менять параметры управления, получая различные характерные варианты поведения нашей системы.

Если  мы возьмём  параметры  (т.е. , и ) то глядя на графики построенные программой (см. Приложение), мы видим, что система устойчива и  состояние равновесия типа фокус. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение 

График  угла отклонения маятника.

 
 
 
 

График  угловой скорости маятника.

 
 

График  управления.

 

Фазовый портрет.

 

Если  мы сменим параметр управления, то фокус станет неустойчивым. 
 

График  угла отклонения маятника.

 
 
 
 

График  угловой скорости маятника.

 

График  управления.

 
 
 
 
 

Фазовый портрет.

 

     При получим бесконечные незатухающие колебания, тип равновесия – центр, что соответствует теории. 
 

График  угла отклонения маятника.

 
 
 
 
 

График  угловой скорости маятника.

 
 
 

График  управления.

 

Фазовый портрет.

 

Это соответствует  тем результатам, которые получены теоретически. Т.е. если , то система устойчива, если , то происходит бесконечные незатухающие колебания, а иначе система становится неустойчивой.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы 
 

1. Иродов  И. Е., Волновые процессы., М., БИНОМ, 2005
2. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. М., Физматлит, 1995.
3. Мэрион Дж. Б., Физика и физический мир., Мир, Москва, 1975.
4. Мякишев Г. Я., Физика. Колебания и волны. М., Дрофа, 2004
5. Мякишев Г. Я., Физика. Механика. М., Дрофа, 2004
6. Неймарк Ю. И., Коган Н. Я., Савельев В. П. Динамические модели теории управления. М., Наука, 1985.
7. Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., Наука, 1984.