В задаче о конвекции  модель возникает при разложении скорости течения и температуры  в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник.

Устойчивость динамических систем

   
Устойчивость характеризует одну из важнейших черт поведения систем. Понятие устойчивости применяется для описания постоянства какой-либо черты поведения системы, понимаемого в весьма широком смысле. Это может быть постоянство состояния системы (его неизменность во времени) или постоянство некоторой последовательности состояний, «пробегаемых» системой в процессе ее движения. 
Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к равновесному состоянию или циклическому режиму после устранения возмущения, вызвавшего нарушения последних. 
Устойчивость есть категория, относящаяся, прежде всего, к собственным движениям системы, порождаемым начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями. 
Состояние равновесия, в которое система способна возвращаться, называют устойчивым состоянием равновесия. 
Состояние устойчивости (устойчивое состояние) - это такое равновесное состояние системы, в которое, она возвращается после снятия возмущающих воздействий. 
 
Об устойчивости и всевозможных движениях системы можно судить по фазовому портрету. Фазовый портрет в окрестности произвольной неподвижной точки принадлежит одному и только одному из трех типов точек: 
1) асимптотически устойчивой; 
2) нейтрально устойчивой; 
3) неустойчивой. 
Точная и строгая формулировка понятия устойчивости применительно к состоянию равновесия динамической системы была дана выдающимся русским ученым A.M. Ляпуновым: 
Неподвижная точка системы А называется устойчивой (или аттрактором), если для любой крестности N точки а существует некоторая меньшая окрестность этой точки N' ⊂ N, такая, что любая траектория, проходящая через N', остается в N при возрастании t.

 
В более широком понятии аттрактор  определяется следующим образом: 
Аттрактор (от лат. attraho - притягивать к себе) - область устойчивости, куда стремятся траектории в фазовом пространстве.

 
Аттракторы могут быть обычными точками в фазовом пространстве, а могут иметь более сложную  топологию, являясь, к примеру, замкнутыми кривыми (так называемыми предельными  циклами). 
Неподвижная точка системы А называется асимптотически устойчивой, если она устойчива и, кроме того, существует такая окрестность N точки, где любая траектория, проходящая через N, стремится к а при t →∞. 
Любая асимптотически устойчивая неподвижная точка устойчива. Но не каждая устойчивая неподвижная точка является асимптотически устойчивой.  
Неподвижная точка системы а, которая устойчива, но не асимптотически устойчива, называется нейтрально устойчивой.  
Неподвижная точка системы, которая не является устойчивой, называется неустойчивой (или репеллером). 
Репеллер (от лат. repellо — отталкивать) — область в фазовом пространстве, где траектории, даже начинающиеся очень близко от особой точки, отталкиваются от нее. 
Это значит, что существует такая окрестность N неподвижной точки, что для любой окрестности N' ⊂ N имеется по крайней мере одна траектория, которая проходит через N' и не остается в N.

Постановка  задачи курсового  проекта.

1. Дана система дифференциальных уравнений Лоренца:

 

с фиксированными известными параметрами σ= 10 и b = 8/3 и начальным значением параметра r = 28. Необходимо построить модель странного аттрактора Лоренца, а также зависимости динамических переменных от времени .  Решить систему с помощью метода Рунге-Кутта 4-ого порядка и исследовать поведение системы при различных значениях параметра .

 

2. По выполнению первой задачи, была дана следующая задача на решение уравнения sin-Gordon’а:

u_tt - u_xx =sin( u)

• Используя схему «Крест» получить решения уравнения типа «кинка»: any γ>0

 

Начальные данный для задачи Коши взять из точного решения

(*)

(**)

• То же для «бризерного» решения

 

• То же для  решения

 

Для данной задачи был разработан алгоритм решения для проведения дальнейшей работы.

 
 
 

Методы  и алгоритмы решения

1.1.Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка

Для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные  методы их решения.

Численное решение  на отрезке [a, b] задачи Коши  
y' = f(x, y), y(a) = y0  
состоит в построении таблицы приближенных значений  
y₀, y₁, ..y_i, ..yN  
решения y(x) в узлах сетки  
a=x₀ < x₁ < ...< x_i < ...< x_N=b, y(x_i)= y_i.  
Если x_i = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

 
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для  вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точке x₀. Методом Рунге-Кутты 4-ого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты.

Метод позволяет  решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка  следующего вида:

 
       , 
       ,     и т.д., 
которые имеют решение: 
 
       , 
       ,      и т.д., 
 
где t – независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. – искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. – заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно дифференциальное уравнение – частный случай системы  с одним элементом. Поэтому, далее  речь пойдет для определенности о  системе уравнений.

Метод может  быть полезен и для решения  дифференциальных уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они  могут быть представлены системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Метод Рунге-Кутта  заключается в рекурентном применении следующих формул: 
        
        
      ...

 
 

 
где 
       , 
       , 
       , 
       , 
       , 
       , 
       , 
       .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2.Алгоритм решения уравнения sin-Gordon.

1. Вводим сетку (n,j) с шагом h по оси x, и с шагом τ по оси t. Где j-нумерация слоев по оси x, а n-по оси t.

2. Совершаем переход от дифференциальной задачи к разностной.

 

3. Из начального условия получаем все , у которых n=0, т.е. , получаемого из уравнения (*) Эти решения записываем в предварительно созданный файл.

4. Следующим этапом будет нахождение при n=1. Используем уравнение (**). Также записываем найденные решения в файл.

5. Вычисляем для n=2,3,… по пункту 2).

Таким образом, получаем решения для всех n слоёв сетки.

 

При помощи компьютерной программы, написанной с  использованием языка программирования Delphi, мы находим численно все решения и получаем таблицу решений. 

Таблица далее может быть использована для  построения графиков зависимости  (x) от x для определенных слоёв n для каждого из начальных условий.

Поведение решения системы Лоренца

Рассмотрим изменения  в поведении решения системы  Лоренца при различных значениях  параметра r.

• — аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.
• — траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется  структура из вращающихся валов  жидкости.

• — если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли (Понятие гомоклинической траектории означает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия).
• — в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером» (англ. to repel - отталкивать).
• — траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам — возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений .

Необходимые графики указаны в приложениях.

При больших  значениях параметра траектория претерпевает серезные изменения. Шильников  и Каплан показали, что при очень  больших r система переходит в  режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться  переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

 
 
 

Заключение

В процессе данной работы была изучена система дифференциальных уравнений Лоренца. С помощью численного метода Рунге – Кутта 4-ого порядка получено решение данной системы уравнений.

 Графически  исследовано поведение системы  в зависимости от различных  параметров. Полученные данные совпали  с ожидаемыми теоретическими.

Был разработан алгоритм для дальнейшего решения  и исследования уравнения sin-Gordon’а.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Г. Шустер Название: Детерминированный хаос Издательство: Мир, Москва 1988
2. КУЗНЕЦОВ С. П. Динамический хаос (курс лекций).--М.: Издательство Физико-математической литературы , 2001
3. Додд Р., Эйлбек Д., Гиббон Д. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Изд.: Мир; Год: 1988.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложения

Странный аттрактор : σ= -10  b = 8/3 r = 28

 

 

 

.