Теорема гаусса

Задачу вычисления напряженности поля системы электрических  зарядов, используя помощью принципа суперпозиции электростатических полей  можно сильно облегчить, если применять  открытую немецким ученым К. Гауссом (1777—1855) теорему, которая определяет поток  вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую  поверхность.

Из определения  потока вектора напряженности сквозь замкнутую поверхность, поток вектора  напряженности сквозь сферическую  поверхность радиуса r, которая охватывает точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 1), равен 

Этот результат  справедлив для замкнутой поверхности  произвольной формы. Действительно, если заключить сферу (рис. 1) в произвольную замкнутую поверхность, то каждая линия  напряженности, которая пронизывает  сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

В случае, если замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд (рис. 2), то при пересечении любой линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. При вычислении потока нечетное число пересечений в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток полагается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, которые входят в поверхность.

Если замкнутая  поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, которые входят в поверхность, равно  числу линий напряженности, которые  выходят из нее.

Значит, для поверхности  произвольной формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/ε0, т. е.

(1)

Знак потока совпадает  со знаком заряда Q.

Исследуем общий  случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Используя с принцип  суперпозиции, напряженность Еполя, которая создавается всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei полей, которые создаваются каждым зарядом в отдельности. Поэтому

Согласно (1), каждый из интегралов, который стоит под  знаком суммы, равен Qi/ε0. Значит,

(2)

Формула (2) выражает теорему Гаусса для электростатического  поля в вакууме: поток вектора  напряженности электростатического  поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен  алгебраической сумме заключенных  внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0. Эта теорема получена математически  для векторного поля произвольной природы  русским математиком М.В.Остроградским (1801—1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю — К. Гауссом.

В общем случае электрические  заряды могут быть распределены с  некоторой объемной плотностью ρ=dQ/dV, которая различна в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, которая охватывает некоторый объем V,

(3)

Используя формулу (3), теорему Гаусса (2) можно записать так: