Тұтас орта механикасының элементтері

Тұтас орта механикасының элементтері

Механика [грек. ''mechanіke'' (techne) – машина және машина жасау өнері )– материалдық денелердің механикалық қозғалысын және өзара әсерлесуін зерттейтін ғылым. Денелердің немесе олардың бөлшектерінің уақыттың өтуіне байланысты кеңістіктегі орындарының өзгеруі механикалық қозғалыс деп аталады. Табиғатта мұндай қозғалысқа аспан әлеміндегі денелердің қозғалысы, Жер қыртысының тербелуі, мұхит-теңіздер мен ауадағы ағындар тербелісі; техникада – ұшу аппараттарының, көлік құралдарының, әр алуан механизм бөліктерінің қозғалысы, ғимараттар элементтерінің деформациясы, сұйықтықтар мен газдардың қозғалыстары, т.б. жатады. Әдетте, Механика деп Ньютонның механикалық заңдарына негізделген жарық жылдамдығынан әлдеқайда төмен жылдамдықпен қозғалатын кез келген материалдық денелердің қозғалысын сипаттайтын (элементар бөлшектерден басқа) классикалық механиканы айтады.

Механикада материалдық денелердің қозғалысын зерттегенде олардың негізгі қасиеттерін сипаттайтын абстракты ұғымдар пайдаланылады:

материалдық нүкте – массасы бар, геометриялық өлшемдері ескерілмейтін дене; абсолют қатты дене – кез келген екі нүктесінің ара қашықтығы барлық жағдайда тұрақты дене; өзгермелі тұтас орта – қатты денелердің, сұйықтықтар мен газдардың қозғалысын зерттегенде олардың молекулалық құрылымын ескермеуге болатын жағдайда қолданылатын ұғым. Сонымен қатар тұтас ортаны қарастырғанда: идеал серпімді дене, пластикалық дене, идеал сұйық, тұтқыр сұйық, идеал газ сияқты абстракты ұғымдар қолданылады. Осыған байланысты Механика: материалдық нүкте механикасы, материалдық нүктелер жүйесінің механикасы, абсолют қатты денелер механикасы және тұтас орта механикасы болып бөлінеді. Соңғысы серпімді және пластикалық орта теориясына, гидродинамикаға, газ динамикасына бөлінеді. Бұл бөлімдердің әрқайсысы (шығарылатын есептердің сипатына қарай): кинематика, статика және динамика бөлімдеріне ажыратылады. Денелердің механикалық қозғалысын сипаттайтын негізгі заңдар мен принциптер жалпы және теор. Механиканың негізі болып саналады. Өзіндік дербес мәні бар механика бөлімдеріне: тербелістер теориясы, орнықты тепе-теңдік және қозғалыстың орнықтылығы теориялары, гироскоптар теориясы, массасы айнымалы денелердің механикасы, автоматты реттегіштер теориясы, соққы теориясы, т.б. жатады. механика физиканың көптеген бөлімдерімен тығыз байланысқан. Оның көптеген ұғымдары мен тәсілдері оптикада, статистикалық физикада, кванттық механикада, электрдинамикада, салыстырмалы теорияда, т.б. пайдаланылады. Механика астрономияның көптеген бөлімдерінде, соның ішінде аспан Механикасында ерекше орын алады. Механика қазіргі заманғы техниканың көптеген салаларының ғыл. негізі болып саналады.

Механиканың негізгі ұғымдары мен тәсілдері

Механиканың негізгі ұғымдары мен тәсілдері. Механикада қозғалыстың негізгі кинематикалық өлшемдері: нүкте үшін – жылдамдық пен үдеу, ал қатты дене үшін – ілгерілемелі қозғалыстың жылдамдығы мен үдеуі және айналмалы қозғалыстың бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуі алынады. Деформацияланатын қатты дененің кинематикалық күйі деформация тензорларымен, ал сұйықтықтар мен газдардың кинематикалық күйі деформация жылдамдықтарының тензорларымен сипатталады; қозғалыстағы сұйықтық жылдамдығының өрісін зерттегенде бөлшектердің айналысын сипаттайтын құйын ұғымы пайдаланылады.

Механикада материалдық денелердің механикалық өзара әсерлесуінің негізі – күш. Тұтас орта механикасында денеге әсер ететін күштер беттік немесе көлемдік таралуымен, яғни күш шамасының дене бетінің ауданына (беттік күштер үшін) немесе көлеміне (массалық күштер үшін) қатынасымен, ал сол ортаның әрбір нүктесінде пайда болатын ішкі кернеулер жанама және нормаль кернеулер жиынымен (кернеулер тензорларымен) анықталады. Теріс таңбамен алынған бір нүктедегі үш нормаль кернеудің орташа арифметикалық мәні осы нүктедегі қысымды анықтайды. Дененің қозғалысына, оған әсер етуші күштерден басқа, оның инерттік дәрежесі де әсерін тигізеді. Материалдық нүкте үшін инерттік өлшем – оның массасы. Материалдық дененің инерттігі оның жалпы массасына және сол массаның дене көлемінде таралуына тәуелді. Сұйықтықтар мен газдардың инерттігі олардың тығыздығымен анықталады.

Механикада Ньютон заңдары нүкте және нүктелер жүйесінің қозғалысын сипаттайтын теңдеулерді береді. Тұтас орта механикасында Ньютон заңдарынан басқа, берілген ортаның физикалық қасиеттерін сипаттайтын (мысалы, сызықты серпімді дене үшін Гук заңы, тұтқыр сұйық үшін Ньютон заңы, т.б.) заңдар да қоса пайдаланылады. Механиканың есептерін шешу кезінде динамикалық қозғалыстың өлшемдері: қозғалыс мөлшері (импульс), қозғалыс мөлшерінің моменті, кинетикалық энергия, күш импульсі, жұмыс дейтін ұғымдар маңызды рөл атқарады.

Тұтас орта механикасының элементтері

Сұйықтар мен газдардың қозғалысын және тепе-теңдік заңдарын, сол сияқты олардың қатты денелермен әсерлесуін зерттейтін физиканың тарауын гидромеханика деп атайды.

Гидромеханикада сұйықтың не газдың нақты құрылысы ескерілмейді, олар кеңістікте үзіліссіз таралған тұтас орталар ретінде қарастырылады. Тұтас орта моделі аса сиретілген газдар үшін қолдануға жарамсыз. Сұйықтар мен газдардың қатты денелерден айырмашылығы – олар өз пішіндерін сақтамайды, құйылған ыдыстың пішінін қабылдайды. Сұйықтар газдардан оларда беттік қабаттың болмайтындығымен, бірдей жағдайларда тығыздығының үлкендігімен (кризистік күйден басқа жағдайда), тығыздықтың қысымға тәуелділік сипатымен және сұйықтардың іс жүзінде сығылмайтындығымен ерекшеленеді.

Кез келген тыныштықтағы сұйыққа жұқа пластина салатын болсақ, онда пластинаның ауданына жан-жағында тұрған сұйықтың бөлігіне күшпен әсер етеді. Әсер күші модулы жағынан бірдей, әрі пластинаның қалай тұрғанына байланыссыз, ол бағыты жағынан ауданға перпендикуляр әсер етеді де пластинаны қозғалысқа келтіреді. Сұйықтың жағынан бірлік ауданға нормаль күштің әсерінен анықталатын физикалық шама қысым деп аталады:

Қысымның өлшем бірлігі – Паскаль : беттің ауданына бірқалыпты нормаль түсірілген күшнің тудыратын қысымы -ға тең.

Тепе-теңдік сұйықтардағы қысым Паскаль заңына бағынады: сұйықтың берілген нүктесіндегі қысым барлық бағыттарда бірдей, сұйықтың алып отырған барлық көлемі бойынша бірдей қысым береді. Сұйықтың салмағы осы сығылмайтын тыныштықтағы сұйықтың ішіндегі қысымның таралуына қалай әсер ететінін қарастырайық. Егер сұйық сығылмайтын болса, онда оның тығыздығы қысымға тәуелсіз. Онда көлденең аққан сұйықтың ағысы , оның биіктігі және тығыздығы десек, салмағы , ал төменгі қабатындағы қысымы

яғни қысым биіктік бойынша сызықты өзгереді. гидростатикалық қысым деп аталады. Бұл теңдеу бойынша сұйықтар немесе газдардағы қысымның тереңдікке тәуелділігі оларға батырылған кез-келген денеге әсер ететін кері итеруші күштің пайда болуын тудырады.

Сұйықтың қалыптасқан қозғалысы. Сығылғыштығы және тұқырлығы ескерілмейтін тұтас ортадағы идеал сұйықтың қозғалысын қарастырайық. Сұйық қозғалысын қарастырғанда көп жағдайда сұйықты мүлдем сығылмайды деп санауға және оның бір қабаты екінші қабатымен салыстырмалы қозғалса, үйкеліс күштері (тұтқырлық) пайда болмайды деп қарауға болады. Мұндай сұйықты идеал сұйық деп атайды. Сұйық қозғалысын жете түсіну үшін ағын сызықтары және ағын түтігі деген түсініктерді пайдаланамыз. Қозғалыстағы сұйық үшін, оның әрбір нүктесіне жүргізілген жанама векторының бағытына дәл келетіндей етіп сызықтар жүргіземіз. Бұл сызықтар ағын сызықтары деп аталады. Ағын сызықтармен шектелген сұйық бөлігі ағын түтігі деп аталады. Егер жылдамдық векторы кеңістіктің әрбір нүктесінде тұрақты болса, онда ағын орныққан немесе стационар ағын деп аталады. Әдетте сұйықтың ағысы күшті болғанда ағын сызықтары жиі, ал сұйық ағысы бәсең жерде ағын сызықтары сирек жүргізіледі. Ағын түтігінің белгілі бір қимасында барлық бөлшек қозғалыс кезінде ағын түтігінен шығып кетпей, оның ішімен қозғалады. Сонымен қатар, ағын түтігінің ішіне де сырттан ешқандай бөлшектер енбейді.

Ағын түтігі бойымен үзіліссіз сұйық ағып жатсын. Ағын түтігі бойынан бөлшек жылдамдығының бағытына перпендикуляр және қиманы қарастырайық. Тұрақты қималардағы өтетін сұйық бөлшегінің жылдамдығын және деп белгілейік. Аз уақыт аралығында бұл қималар арқылы өтетін сұйық көлемдері:

Сұйықтың қалыптасқан ағыны кезінде сұйық сығылмайды деп есептесек, онда қимадан ағып өтетін сұйық көлемі дәл сондай болады, яғни және . Олай болса, ағын түтігінің кез-келген көлденең қимасы үшін келесі қатынас орынды болады:

Осы өрнекті ағынның үздіксіздік теңдеуі деп атайды. Ағын түтігі көлденең қимасының сұйық ағысының жылдамдығына көбейтіндісі тұрақты шама болады.

Бернулли теңдеуі. Идеал сұйықтың қозғалысын (ағысын) сипаттайтын өрнекті 1738 жылы Д. Бернулли тұжырымдады. Бұл формуланы қорытып шығару үшін көлденең қималар әртүрлі түтікшедегі идеал сұйықтың қозғалысын қарастырайық. Түтікшенің ішінен және аудандармен шектелген сұйық массасын алып, оның қозғалысын бақылаймыз. Сол аудандардағы ағын жылдамдықтары мен қысымдары , және , болсын. Сұйықтық уақыт аралығында жол жүріп, -ден күйіне, ал қимада жол жүріп, күйіне келеді. және ағындарының арасындағы сұйық көлемі үздіксіздік теңдеуіне сәйкес және аралығындағы орналасқан сұйықтың көлеміне тең болады.

Түтік белгілі-бір еңістікке ие және олардың және қималарының центрі берілген горизонтал деңгейден және биіктікте тұр.

және екенін ескеріп, бастапқыда және қималарының арасында орналасқан сұйық массасының толық энергиясының өзгерісін келесі түрде жазуға болады.

Бұл өзгеріс, энергияның сақталу заңы бойынша сыртқы күштердің жұмысына негізделген. Берілген жағдайда сәйкес және қималарға әсер ететін қысым күштері және , мұндағы және - сәйкес қысымдар. күш пен орын ауыстырудың бағыттары бірдей, сондықтан күш оң жұмыс жасайды және -ға тең.

қысым күші және орын ауыстырудың бағыттары қарама-қарсы. Олай болса, күш жұмысы теріс . Сонымен, сыртқы күш жұмыс жасайды.

Энергияның сақталу заңы бойынша қималар энергияларының айырымы сұйықты қозғалысқа келтіру үшін істелінетін жұмыстардың айырымына тең болады. Сыртқы күштердің қосынды жұмысы - ға тең.

уақыт ішінде және қималардан ағып өтетін сұйық көлемі және үздіксіз теоремасы бойынша өзара тең . Сыртқы күштердің толық жұмысы

Кинетикалық энергияның өзгерісі жасалынған жұмысқа тең ,

теңдігінен және сұйықтың сығылмайтын шартынан

мұндағы - сұйық тығыздығы, сондықтан өрнек келесі түрде жазылады.

және қима аудандары ойша алынғандықтан соңғы өрнекті кез-келген түтік қималары үшін былай жазуға болады:

Бернулли теңдеуі деп аталады.

Сұйық ағынындағы қысым. Бернулли теңдеуіндегі: - динамикалық, - гидростатикалық, - статикалық (сыртқы) қысым деп аталады, ал олардың қосындысы толық қысым деп аталады. Демек, идеал сұйықтың стационарлы (қалыптасқан) ағысы кезінде түтік ағынының кез-келген қимасындағы толық қысым тұрақты шама.

Ламинарлық және турбуленттік ағыстар. Тұтқырлық. Сұйықтың ағысын ламинарлық және турбуленттік деп екіге бөледі. Сұйықтың жеке қабаттары бір-бірімен қарағанда параллель, яғни сұйық қабатта бір-бірімен араласпай қозғалатын болса, онда ағысты ламинарлық ағыс деп атайды. Сұйық бөлшектерінің жылдамдығы артып, шекті мәнге жеткенде әр қабаттардың бір-бірімен араласуы сұйықтың турбуленттік ағысы деп атайды.

Идеал сұйықтың қалыптасқан стационарлы ағысы кез-келген жылдамдықтарда ламинарлы болып табылады. Нақты сұйықтарда қабаттар арасында ішкі үйкеліс күші пайда болады, яғни нақты сұйықтар тұтқырлыққа ие болады. Сондықтан, әрбір қабат көрші қабаттың қозғалысына кедергі жасайды.

Ішкі үйкеліс күшінің шамасы қабаттарының беттесу ауданына және жылдамдықтың градиентіне пропорционал болады, яғни

мұндағы тұтқырлық коэффициенті деп аталатын пропорционалды коэффициент. Оның өлшем бірлігі 1 . Тұтқырлық сұйықтың табиғатына және температурасына байланысты. Температураның өсуіне қарай тұтқырлық төмендейді.

Егер ішкі үйкеліс күші және ағыс жылдамдығы аз шама болса, онда қозғалысты ламинарлық деп қарастыруға болады. Ішкі үйкеліс күшінің үлкен мәндері кезінде ағыстың қабаттық сипаты бұзылады; аса күшті араласу басталады, яғни турбулентті ағысқа көшу болады. Түтік бойымен сұйық ағысы кезіндегі ағыстың бір түрінен екінші түрге өту шарты Рейнольдс саны деп аталатын шамасымен анықталады:

мұндағы - сұйықтың тығыздығы, - түтік қимасы бойынша орташа ағыс жылдамдығы, - түтік диаметрі.

кезінде ламинарлы ағыс, ал кезінде турбулентті ағыс болып қалыптасады. Тұтқырлықтың әсері кезінде дөңгелек қимасы бар түтік бойынша әртүрлі қабаттардағы ағыс жылдамдықтары әртүрлі етіп жасалды. Оның орташа мәні Пуазейль өрнегі бойынша анықталады.

мұндағы түтік радиусы, -түтік ұштарындағы қысым айырымы, - оның ұзындығы.

Тұтқырлықтың әсері ағынның қозғалмайтын денемен өзара әсерлесуі кезінде де байқалады.Тұтқырлығы сұйық ішіндегі радиусы ,жылдамдығы шар қозғалысына жасалатын кедергі күші мынаған тең:

Бұл өрнек Стокс теңдеуі деп аталады. Стокс өрнегі лабораториялық практикум сабағында сұйықтардың тұтқырлық коэффициентін анықтау үшін қолданылады.