Вакуумный диод

Введение.

Вакуумный диод представляет собой биполярное устройство для создания тока в вакууме, методом переноса электронов с катода на анод внешним электрическим полем. Это - пустотная лампа, содержащая два электрода: один – в виде проволоки из тугоплавкого материала (вольфрам, молибден и др.), раскаливаемой током (катод), и другой, холодный электрод, собирающий термоэлектроны (анод). Подобные лампы получили широкое применение в радиотехнике. Аноду диода чаще всего придают форму цилиндра, внутри которого расположен накаливаемый катод. Электроны из катода вылетают с помощью термоэлектронной эмиссии.  Вакуумный диод интересен тем, что непосредственно в создании микроскопического поля участвуют электроны. А вакуум создаёт дополнительное преимущество т. к. можно дифференцировать влияние второстепенных факторов.

Наша цель, используя эту систему наблюдать и разделять квантовые и классические эффекты при протекании электрического тока т. к. это затруднено. 

  Для понимания многих электронных явлений важно выяснить, какое число носителей заряда из общей их совокупности в единице объёма имеют составляющие импульса в пределах и , и , и . Полная энергия такой группы частиц будет лежать в некотором интервале и , определяемом зависимостью . Ответ на поставленный вопрос получается разным в классической и квантовой теориях. Чтобы прояснить разницу в процессах квантового уровня и классического на примере электронов рассмотрим теоретическое описание тока в вакууме как классическую картинку и как квантовую.

1. Классическая теория распределения Максвелла – Больцмана.

Пусть есть число состояний электронов в единице объёма тела, принадлежащих рассматриваемому интервалу энергий. Для малого интервала импульсов его можно считать пропорциональным этому интервалу: ~. Если есть вероятность таких состояний, то интересующее число электронов равно

          (1)

В классической физике вероятность выражается законом Больцмана

          (2)

где - энергия частицы в рассматриваемом состоянии, - постоянная Больцмана, - температура, - постоянная. Если рассматривать электроны в отсутствие внешних сил их потенциальная энергия не зависит от координат и её можно включить в постоянную . Тогда есть кинетическая энергия

          (3)

          ()

- это потенциальная энергия взаимодействия ионов образующих кристалл с электронами. Эта энергия имеет полевой характер.

Из формул (1), (2) и (3) находим

          (4)

где - новая постоянная (). Последняя формула выражает закон Максвелла, дающий распределение импульсов в идеальном газе.

Постоянная определяется из условия, что полное число электронов с любыми импульсами есть заданная концентрация , т. е.

          (5)

Выполняя интегрирование и учитывая, что

          (6)

(6.1)

Вычислим первый интеграл. Предположим, что интеграл равен и , , получим

          (6.2)

Умножим обе части равенства на , найдём

          (6.3)

Интегрирование последнего равенства по даёт

          (6.4)

Изменяя порядок интегрирования, получим повторный интеграл

          (6.5)

Внутренний интеграл которого

          (6.6)

Таким образом

          (6.7)

Следовательно

          (6.8)

Остальные интегралы считаются таким же образом. И в конечном итоге мы получаем

          (7)

(*)

Мы увидели, что электроны двигаются в разных направлениях, т. е. . Но нам необходимо рассмотреть только движения по оси . Вычислим интеграл

и получим

В классической статистике величина ничем не ограничивается (любое число электронов может иметь компоненты импульса в данном интервале). В квантовой статистике компоненты импульса квантуются, и поэтому имеет определённое конечное значение

          (8)

Здесь есть универсальная постоянная квантовой механики - постоянная Планка: . Множитель 2 учитывает то обстоятельство, что каждой тройке величин могут соответствовать две различные ориентировки электронного спина.

2. Квантовая теория.

Важное обстоятельство, учитываемое квантовой физикой, заключается в том, что вероятность квантового состояния с полной энергией для электронов определяется не законом Больцмана, а функцией Ферми - Дирака

          (9)

Здесь есть некоторая характерная энергия, не зависящая от переменных и . Она получила название электрохимического потенциала или уровня Ферми. Величина является параметром распределения и играет ту же роль, что и постоянная в законе Больцмана. Конечно, не универсальная постоянная, а зависит от природы вещества и его состояния. Для данного вещества , как и , определяется полной концентрацией электронов и температурой.

Графики функции Ферми - Дирака показаны на рис.

Рис. . Функция Ферми- Дирака.

Рассмотрим поверхность метала т. к. из неё вылетают электроны.

Сделаем замены

Тогда получим

т. к. отношении энергий

,

Значит

,

И мы получаем, что наше уравнение

Тогда разложим функцию в ряд

Т. к.

Подставим в ряд

Заменим

Исходя из этого, мы можем распределение Ферми - Дирака заменить классическим распределением Больцмана.

Обратимся теперь к энергетическим диаграммам и положим, что при уровень Ферми лежит в зоне проводимости (рис.,а). тогда в зоне будут квантовые состояния с энергией , и существенно необходимо пользоваться распределением Ферми – Дирака. Такой электронный газ называется вырожденным. Этот случай мы имеем в металлах. Здесь все квантовые состояния с энергией целиком заполнены электронами, а электронов с энергией нет вовсе. Следовательно, даже при электроны находятся в движении, а максимальная кинетическая энергия равна . Существование этой энергии при абсолютном нуле есть специфический результат квантовых законов движения электронов.

Рис.. Положение уровня Ферми в металле (а) и в невырожденном полупроводнике (б)

При распределение Ферми размывается и появляется небольшое число электронов с энергией . Однако размытие функции Ферми охватывает лишь области энергии порядка в окрестностях уровня Ферми . Если отстоит от на много (что и имеет место в металлах), распределение по энергиям для большинства электронов (с энергией ) практически не меняется. Поэтому, в частности, средняя энергия электронов зависит от температуры слабо. Это объясняет, почему электронный газ в металлах слабо влияет на их теплоёмкость.

Ели же уровень Ферми лежит в запрещенной зоне (рис. ,б), то для всех состояний в зоне проводимости мы имеем и для них справедливо классическое распределение Больцмана (невырожденный электронный газ). При для всех состояний в зоне проводимости и электронов проводимости нет. Этот случай соответствует совершенно чистым проводникам, не содержащих примесей или дефектов решётки.

Вернёмся теперь к закону распределения электронов по импульсам. Из сказанного выше следует, что вместо закона Максвелла для электронов оно выражается формулой

          (10)

Здесь энергия есть определённая функция и , зависящая от природы кристалла. Для состояний, энергия которых близка к энергии для зоны проводимости , она выражается формулой

          (11)

Эта формула имеет тот же вид, что и формула классической механики. Однако между ними имеется существенное отличие. В формуле из доквантовой физики твёрдого тела

          (12)

(где - потенциальная энергия)

есть истинная масса изолированного электрона. В формуле же (11) через мы обозначили коэффициенты в разложении Тейлора

          (13)

- эта характеристика называется эффективной массой. Она содержит в себе вдобавок к электрона поправки, выраженные в массовых единицах и возникающие из-за поляризационных искажений электронов ближайшей кристаллических ячеек. 

Величина при движении электрона внутри кристалла она играет ту же роль, что и масса, однако отличается от истинной массы электрона. Отметим также, что в формулах (12) и (13) мы считали одинаковой при движении вдоль каждой из осей X, Y и Z, т. е. не зависящей от направления движения. Этим мы ограничимся простейшим случаем изотропной эффективной массы.

Вернёмся к закону распределения электронов по импульсам. Параметр распределения - уровень Ферми - можно определить из условия нормировки (5). В этом случае

      (14)

Подставляя это выражение в (5) и выполняя интегрирование с учётом (6) получаем

          (15)

где введено обозначение

          (16)

Величина получила название эффективной плотности состояния в зоне проводимости.

Формула (15) устанавливает связь между положением уровня Ферми и полной концентрацией электронов проводимости в невырожденных полупроводниках. Из этой формулы видно, что чем ближе  к краю зоны , тем больше и концентрация электронов в зоне. Если задано, то формула (15)  определяет положение уровня Ферми относительно края зоны .

Если мы теперь выразим из формулы (15) и подставим это значение в (14) для , то постоянная Планка сократится, и мы получим в точности закон распределения Максвелла, выражаемый формулой (*). Однако при этом всё же вместо массы изолированного электрона будет входить эффективная масса электрона в кристалле . Она и учитывает квантовые особенности движения электронов.

Таким образом, для применимости классической статистики нужно, чтобы электронный газ был невырожденным. А это значит, что концентрация электронов в нём должна быть не очень велика.

Из формулы (15) видно, что для отсутствия вырождения концентрация электронов должна удовлетворять условию . Чтобы оценит порядок величины  , положим  и примем температуру . Тогда по формуле (16) получаем

3. Электронная эмиссия.

Мы увидели, что в металлах имеются электроны проводимости, участвующие в тепловом движении. Так как электроны удерживаются внутри металла, то, значит, вблизи поверхности существуют силы, действующие на электроны и направленные внутрь металла. Они возникают вследствие притяжения между электронами и положительными ионами решетки. В результате этого взаимодействия в поверхностном слое металлов появляется электрическое поле, а потенциал при переходе из внешнего пространства внутрь металла увеличивается на некоторую величину . Соответственно потенциальная энергия электрона уменьшается на .

Распределение потенциальной энергии электрона для ограниченного металла показано на энергетической диаграмме рис.. Здесь - уровень энергии покоящегося электрона вне металла, - наименьшая энергия электронов проводимости (дно зоны проводимости). Распределение потенциальной энергии имеет вид потенциальной ямы. Её глубина равна . Эта величина называется электронным сродством и является важной характеристикой вещества.  

Если электрон внутри металла имеет полную энергию , меньшую (рис..) , то такой электрон не может покинуть металл. Условие вылета электрона из металла

         (17)

Рис.. Распределение потенциальной энергии электрона в ограниченном металле; - термоэлектронная работа выхода

При комнатных температурах практически для всех электронов в металлах и полупроводниках это условие не выполняется, и электроны связаны в пределах проводника. Однако электронам можно сообщить различными способами дополнительную энергию. В этом случае часть электронов металла получают возможность покинуть металл, и мы наблюдаем явление испускания электронов, или электронной эмиссии.

В зависимости от того, каким способом сообщена электронам энергия, мы различаем разные типы электронной эмиссии. Если электроны получают энергию за счёт тепловой энергии тела при повышении температуры этого тела, мы говорим о термоэлектронной эмиссии; при подведении энергии светом мы имеем явление фотоэмиссии, или фотоэлектрический эффект; если энергия сообщается электронам при бомбардировки извне какими- либо другими частицами, мы наблюдаем вторичную электронную эмиссию.

4. Вакуумный диод. Вольт – амперная характеристика вакуумного диода.

Для наблюдения термоэлектронной эмиссии может служить пустотная лампа, содержащая два электрода: один - в виде тугоплавкого материала, раскаливаемого током (катод), и другой, холодный электрод, собирающий термоэлектроны (анод). (Рис. 1.)