Численные методы в экономике

опишем  их  по одиночке (распечатки данных модулей приведены в

приложении): 

     1. 1 OBRJ.M

     Головной модуль

     Входные данные: отсутствуют.

     Выходные данные: отсутствуют.

     Язык реализации: PC MathLab.

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or Higher.

     Пояснения к тексту модуля:

     "Стандартный" головной  модуль.  В данном модуле задаются

начальные значения в виде вектора, например:

                       X 40 0=[0.4 0.9]

     Также в данном модуле  запрашивается  допустимая  ошибка,

очищается экран,  а также производятся другие подготовительные

действия.

     Затем происходит  вызов модуля 1 OBRF.M 0 с полученными вход-

ными данными.  Формат вызова данного модуля  описан  далее  (в

описании самого модуля). 
 

     После вычислений в головную  программу  возвращаются  ре-

зультаты вычислений на основе которых строятся графики а также

выводятся оценки по затратам машинного времени  и  быстродейс-

твия. 

     2. 1 OBRF.M

     Вычислительный модуль

     Входные данные: 

     FunFcn - имя функции,  написанной пользователем,  которая

вычисляет левые части для  требуемой  системы  в  определенной

точке.

     X0 - вектор-строка,  определяющий начальные значения (на-

чальное приближение).

     E - допустимая ошибка. 

     Выходные данные: 

     Tout - Столбец итераций ("Время")

     Xout -  Столбцы  значений вычисленных на каждом этапе для

каждой итерации

     DXout - Столбцы погрешностей по каждой компоненте, вычис-

ленные на определенном этапе 

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or Higher

     Пояснения к тексту модуля:

     Данный "вычислительный" модуль реализует метод последова-

 

                                - 5 - 

тельной итерации обратной матрицы Якоби. Общая структура вызо-

ва данного модуля: 

        [T 4out 0,X 4out 0,DX 4out 0]=OBRF(FunFcn,X 40 0,E); 

     Значения каждого из параметров были описаны выше.

     На начальном этапе в данном модуле инициализируются внут-

ренние переменные (например,  задается единичная матрица H,  в

соответствии  с  размерностью X0),  формируются (на основе на-

чальных значений) первичные элементы  матриц  Tout,Xout,DXout.

Затем данная функция, как и многие другие в численных методах,

имеет вид: 

     While ОШИБКА > ДОПУСТИМОЙ ОШИБКИ

      Оператор1

      Оператор2

      .........

      .........

      ОператорN

     End 

     Внутри данного цикла происходят вычисления внутренней пе-

ременной P 5k 0 на каждом шаге K и,  вычисляется начальное прибли-

жение X 5k+1 0. Первоначально t=1 (Не номер итерации, а внутренний

параметр!). Затем, в очередном цикле While...End в случае, ес-

ли ¦F(X 5k+1 0)¦  < ¦F(X 5k 0)¦ t=t/2 и снова вычисляется X 5k+1 0.  Когда

очередное X 5k+1 0 найдено,  вычисляется Y 5k 0, а затем и новое приб-

лижение матрицы  H.  Итерационный процесс заканчивается,  если 
 

¦F(X 5k+1 0)¦ < E. Если данное условие не выполняется - итерацион-

ный процесс продолжается заново.

     Формирование выходных значений-матриц  происходит  внутри

данного цикла  и  поэтому  никаких  дополнительных действий не

требуется, то есть с окончанием данного цикла заканчивается  и

сама функция. 

     3. 1 FUN1.M

     Модуль, вычисляющий левые части

     Входные данные:

     X - вектор-строка,  задающий точки для вычислений по каж-

дой компоненте.

     Выходные данные:

     FF -  вектор-строка,  возвращающий значения каждой компо-

ненты в определенной точке

     Язык реализации: PC MathLab

     Операционная система: MS-DOS 3.30 or Higher

     Пояснения к тексту модуля:

     В принципе,  текст данного модуля не требует пояснений. В

нем пользователь реализует систему уравнений, которая подлежит

решению. То есть на входные значения X данная функция  возвра-

щает левые части по каждому уравнению. Единственное требование

к данному модулю - соблюдение формата,  то есть входные и  вы-

ходные данные должны быть представлены в виде вектор-строк. 

                         2Сравнительный анализ и

                         2оценка быстродействия. 

 

                                - 7 - 

     Сравнительный анализ показал,  что данный метод  обладает

неплохой сходимостью, так как попробованный метод простой ите-

рации с параметром вообще отказался сходиться для данной  сис-

темы. Однако  хорошо  подходит  для сравнения дискретный метод

Ньютона, так как данные методы практически  одинаковы  что  по

точности что по затратам. 

     1. Метод последовательной итерации обратной матрицы Якоби

     Число операций: порядка 682

     Быстродействие: порядка 0.11 секунды 

     2. Метод Ньютона дискретный

     Число операций: порядка 990

     Быстродействие: порядка 0.22 секунды 

     Как видно из вышеприведенных данных, эти два метода очень

близки между собой, но метод Ньютона дискретный более сложен в

реализации, однако  обладает лучшей сходимостью,  например при

начальных значениях X 50 0=[2.0 2.0];  метод последовательной ите-

рации обратной  матрицы  Якоби уже не справляется,  в то время

как дискретный метод Ньютона продолжает неплохо работать.  Од-

нако метод  Ньютона требует больших затрат машинного времени и

поэтому при выборе метода необходимо  исходить  их  конкретных

условий задачи  и  если известно довольно точное приближение и

требуется быстрота вычислений,  то к  таким  условиям  отлично

подходит разработанный  метод последовательной итерации обрат-

ной матрицы Якоби. 

                         2Выводы 

     В данной РГР был разработан и реализован метод последова-

тельной итерации  обратной матрицы Якоби,  предназначенный для

решения системы нелинейных уравнений. Программа, реализованная

на языке PC MathLab хотя и не является оптимальной, однако вы-

полняет поставленную задачу и решает системы уравнений. Реали-

зованный метод  не отличается повышенной сходимостью и требует

довольно точного начального приближения, однако довольно быст-

ро сходится к точному решению,  то есть его можно порекомендо-

вать для вычисления непростых систем нелинейных уравнений  при

наличии довольно точного начального приближения и наличия вре-

менных ограничений. 

                 2Список литературы 

     1. О.М.Сарычева.  "Численные методы в экономике. Конспект

лекций", Новосибирский  государственный  технический универси-

тет, Новосибирск 1995г.

     2. Д.Мак-Кракен, У.Дорн. "Численные методы и программиро-

вание на Фортране", Издательство "Мир", М. 1977г.

     3. Н.С.Бахвалов.  "Численные методы",  Издательство "Нау-

ка", М. 1975г.