Графическое решение систем уравнений

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Далее находим  определители матриц A1, A2, A3 и  A4.

 

 
 

Найдем теперь корни СЛАУ:  

 
 
 

 

 
 

 

 

•  
  
•  
  
•  
  
•  
  
• 5. Решить СЛАУ методом Гаусса

 

Решение: 

Зададим матрицы  A и B: 

 
 
 
 

  
 

Используем функцию  augment для создания расширенной матрицы, которая объединяет матрицы A и B, при этом в первых столбцах помещаем столбцы матрицы A, а в остальных столбцы матрицы B. 

 

 
 
 
 
 
 
 

Применим функцию  Rref, которая преобразует расширенную матрицу так, что в основной части получается единичная матрица, а в расширенной части находятся значения переменных.

 
 

 
 
 
 
 
 

Присвоим вектору  X функцию submatrix (в скобках указывается через запятую имя матрицы, номер начальной строки, номер конечной строки, номер начального столбца, номер конечного столбца), которая из матрицы Ar вырезает матрицу, состоящую из заданных строк и столбцов (нумерация строк и столбцов начинается с нуля).

 
 
 

 
 
 
 
 

7. Анализ результатов:

Сделав проверку в предыдущем примере, и получив  нулевую матрицу, мы подтвердили  правильность своего решения. 
 

Задание 4

Интерполирование. Аппроксимация. 

Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента

1. С помощью линейной интерполяции.
2. С помощью кубического сплайна.
3. С помощью линейной аппроксимации.
4. Методом наименьших квадратов при m=2, m=3, где m – порядок полинома. Вычислить среднеквадратичное отклонение.
5. С помощью полиномиальной регрессии для m=4
6. Проанализировать результаты
7. Построить графики таблично заданной функции, интерполяционного полинома и аппроксимирующей функции в одних осях координат.

 
 
 

1. Линейная интерполяция.

Функция linterp(x,y,xd) – значение в точке xd.

Решение: 

     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 

2. Кубический сплайн

Сплайн –  гибкий металлический стержень, концы  которого закреплены на концах наблюдаемого интервала. В программе Mathcad возможны виды сплайновой интерполяции: линейная, параболическая, кубическая. Рассмотрим кубический сплайн. Для этого вычислим вектор коэффициентов сплайна для интервалов: kcs = cspline(x,y). Далее для интерполяции применяется функция linterp(ks, vx, vy, x).

Решение:

 

 

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Линейная аппроксимация

Для m=1 аппроксимирующий полином имеет вид . Для вычисления коэффициентов полинома применяются функции:

Intercept(x,y) – функция возвращает значение y.

Slope(x,y) – угловой коэффициент линейной функции.

Решение:

 
 

 
 
 
 

ORIGIN=0 (переменная, которая хранит начальный номер элементов в матрице), n – количество узловых точек. 

Определим коэффициенты сглаживающего полинома: 
 

 
 

 

 
 

Сглаживающая  формула: 

 
 

Среднее квадратическое отклонение: 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Строим графики  исходной и полученной зависимостей в одних осях координат (рис.5): 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                        Рис. 5. График исходной зависимости и

              аппроксимирующего полинома 1-го  порядка 

4.     а) Полином 2-го порядка

Для m = 2 полином имеет вид:

Решение:

Зададим начальные  условия: 
 
 

 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Создадим матрицы  коэффициентов при неизвестных  C и свободных членов D для СЛАУ: 

 
 
 
 

Решим СЛАУ методом обратной матрицы: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задаем полином 2-го порядка: 

 

Далее находим  среднее квадратическое отклонение и строим графики: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

б) Полином 3-го порядка

При матрица коэффициентов становится громоздкой. В этом случае векторы формируем по формулам.

Решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

 

 
 
 
 

Далее решение  производится как в предыдущем примере:

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Полиномиальная регрессия для k=4

Полиномиальная  регрессия осуществляется комбинацией  встроенной функции regress и interp.

Решение:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Length(z) – длина вектора z, kf – коэффициенты полинома. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Для построения графика полиномиальной регрессии  используем функцию interp (рис.6). 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.6. Полиномиальная регрессия 4-го порядка 

6. Анализ результатов

Поиск приближенного  значения функции в точке xd различными методами не даёт абсолютно одинакового результата по причине того, что аппроксимация не может быть сведена к одной аппроксимирующей формуле, что затрудняет аппроксимацию и дает довольно низкую точность. Наибольшая погрешность существует при линейной аппроксимации, более точное решение получается при помощи сплайна. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание 5.

Решение дифференциальных уравнений 

Решить дифференциальное уравнение двумя методами.

 

Рассмотрим решение  с помощью функций rkfixed и odesolve. 

1. Решение дифференциального  уравнения с помощью  функции rkfixed.

Rkfixed ( ) – возвращает матрицу решений дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от до при фиксированном числе шагов n. 

Решение: