Задание 1.

Имеются следующие данные о выработке  литья на одного работающего Х₁(т), браке литья Х₂(%) и себестоимости 1 т литья Y(руб.) по 20 литейным цехам различных заводов: 

 
 

Необходимо  установить связь между себестоимостью литья и выработкой литья на одного работающего 

1. без учёта производственного брака (найти уравнение парной регрессии Y по X₁);
2. и с учётом производственного брака (найти уравнение множественной регрессии Y по X₁ и X₂);
3. оценить значимость полученных уравнений на уровне a = 0,05;
4. установить значимость коэффициента регрессии при X₂ на уровне a = 0,05;
5. получить точечную оценку среднего значения себестоимости 1т литья в цехах, в которых выработка литья на одного работающего составляет 40 т, а брак литья составляет 5%.

 

Решение:

1) Общий вид уравнения регрессии:

Система нормальных уравнений в общем  виде:

Приведём  расчётную таблицу: 

 

Система нормальных уравнений с вычисленными коэффициентами:

Решение системы:

Построенное уравнение  регрессии:

Соответственно, без учёта производственного  брака при увеличении выработки  литья на одного работающего на 1 т себестоимость 1 т. литья снижается  в среднем на 2,04 руб.

2) Общий  вид уравнения регрессии:

Для нахождения коэффициентов необходимо решить систему:

Система уравнений с вычисленными коэффициентами:

Решение системы:

Построенное уравнение регрессии:

При увеличении выработки литья на одного работающего на 1 т себестоимость и неизменном проценте брака себестоимость 1 т. литья снижается в среднем на 1,82 руб. При увеличении брака литья на 1% и неизменной выработке литья себестоимость 1 т. литья увеличивается в среднем на 10,66 руб.

3) Проведём в таблице расчёты: 

 

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

Тогда для первого уравнения:

Для второго уравнения:

Для определения  значимости полученного уравнения  регрессии необходимо рассчитать эмпирическую величину F-критерия Фишера:

Для первого  уравнения:

Для второго  уравнения:

По таблице  F-распределения Снедекора-Фишера при α = 0,05 и К₁ = 2, К₂ = 20 – 3 = 17 величина F_т = 3,59. При К₁ = 1, К₂ = 20 – 2 = 18 величина F_т = 4,41. Это означает, что оба уравнения статистически значимы.

4) На  основании данных расчётной таблицы  рассчитаем остаточное среднее  квадратическое отклонение:

Определим стандартную ошибку коэффициента:

Рассчитаем  t-статистику:

Табличное значение t-критерия Стьюдента при α = 0,05 и k = 20 – 2 – 1 = 17 будет равно t_табл = 2,89. Таким образом, коэффициент регрессии при X₂ является статистически значимым на уровне a = 0,05.

5) Выполним  прогноз:

 руб./т. 

Задание 2.

Имеются следующие  данные о безработице в США  в 1950-1985 гг. (млн. чел.)  

 

Требуется обработать эти данные, выполнив следующие действия:

1. представить ряд графически;
2. подобрать подходящее уравнение тренда по методу наименьших квадратов или подходящую скользящую среднюю, если характер тренда неясен;
3. удалить трендовую составляющую из временного ряда и построить график остатков;
4. проанализировать поведение ряда остатков.

 

Решение:

1) Построим график: 

2) Из графика видно, что безработица в США в рассматриваемом периоде изменяется скачкообразно и трудно подобрать подходящий вид тренда. Построим линейное уравнение тренда.

Общий вид уравнения тренда:

Система нормальных уравнений в общем  виде:

Приведём  расчётную таблицу: