Задача 1

      По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб.) от объема капитальных вложений (Х, млн. руб.)

 

      Требуется:

      1. найти параметры  уравнения линейной  регрессии, дать  экономическую интерпретацию коэффициенту регрессии 

     Уравнение линейной регрессии имеет вид: У= а + b * х.

     Оценка  параметров которого может быть оценена  методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений составит:

       

     b =

  = = = 2,3138

     а =

- b* = 92,9 – 2,3138 * 40,6 = - 1,035

     Уравнение линейной регрессии имеет вид:

     У = - 1,035  +  2,3138 * х

     Т.е. с увеличением объема капитальных вложений на 1 руб. объем выпуска продукции повысится в среднем на 2,3138 %-ных пункта.

     Расчетные значения  определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения, т.е.

 

     2. Вычислены остатки,  остаточная сумма  квадратов, оценка  дисперсии остатков, построен график остатков

     Для проведения корреляционного анализа  воспользуемся инструментом Корреляция и Регрессия в EXCEL. Результаты вычисления (корреляционного анализа) представлены в таблице 1.

 

      

Таблица 1

 

 

     Используя расчеты таблицы 1, получаем:

      Остатки по линейной модели равны

 

     Остаточная сумма квадратов равна - Стандартная ошибка регрессии  S = , где - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии), n – число наблюдений (в нашем примере 10), m – число объясняющих переменных (в нашем примере равно 2). В рассматриваемой модели составляет S = = 2,225694, что свидетельствует о высокой точности построенной модели.

     График  остатков имеет вид:

 

     3. проверено выполнение  предпосылок МНК

      Оценка параметров модели регрессии (a₀ , b) осуществляется по методу наименьших квадратов. Одним из условий регрессионной модели является предположение о линейной независимости переменных, т.е. решение задачи возможно лишь тогда, когда столбцы и строки матрицы исходных данных линейно независимы.

 

     Оценим  значимость отдельных параметров построенной  модели. Из таблицы 1 видно, что на уровне значимости α = 0,05 все включенные в модель факторы являются значимыми: Р – значение < 0,05.

     Границы доверительного интервала для коэффициентов  регрессии не содержат противоречивых результатов:

     - с надежностью 0,95 (с вероятностью 95,0 %) коэффициент b₁ лежит в интервале -7,51783 ≤ а₁ ≤ 5,447078;

     - с надежностью 0,95 (с вероятностью 95,0 %) коэффициент b₂ лежит в интервале 2,159098≤ b₁ ≤ 2,46826

     Таким образом, модель запишется в виде:

     

 = - 1,035  +  2,3138 * х

     Как говорилось выше, анализ Р – значения  показывает, что оба коэффициента а₁ и а₂  значимы. 

     4. осуществлена проверка значимости параметров уравнения регрессии с помощью t – критерия Стьюдента статистической значимости коэффициентов уравнения линейной  регрессии 

ta_j =

=

 

     Табличное значение t – критерия при доверительной вероятности 0,95 составляет 2,365. Поскольку  tb₁ > t_расч = 2,365, то коэффициент являются существенными (значимы). 

     5. вычислен коэффициент  детерминации R², проверена значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (a = 0,05), найдена средняя относительная ошибка аппроксимации, оценено качество модели 

     Коэффициент детерминации R² показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Значение R² = 0,993329 свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной У (объем производства продукции) в основном (на 99,33 %) можно объяснить вариацией включенных в модель объясняющей переменной Х. Следовательно, около 99,33 % вариации зависимой переменной У учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов. Это свидетельствует об адекватности модели.

     Стандартная ошибка регрессии в рассматриваемой модели составляет 1,225755, что свидетельствует об очень высокой точности построенной модели.

     Расчетное значение F-критерия Фишера составляет  1191,282. Значимость F = 5,43E-10, что меньше чем 0,05. Таким образом,  полученное уравнение в целом значимо. 

      6. построен прогноз  среднего значения  показателя У при  уровне значимости a = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составляет 80,0 % от его максимального значения 

Х _{прогноз} = 54,0 * 0,8 = 43,2   У _{прогноз}  = 98,915 

    7. построен график  фактических, модельных  и прогнозного  значения У (см. график)

 

     
 

    

 

    

      8. составлены уравнения нелинейной регрессии, для каждой из которых найдены коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. 

     8.1. степенная парная регрессия

     Уравнение степенной модели имеет вид:  У = а * х ^b

     Для построения этой модели произведем линеаризацию переменных. Для этого прологарифмируем обе части уравнения:

     lg у = lg а + b * lg  x.

     Обозначим  У = lg , Х = lg  x,  А = lg а. Тогда уравнение примет вид:

     У = А + b * Х   - линейное уравнение регрессии.

     Рассчитаем  его параметры, используя следующую таблицу: