Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

НОУ ВПО «Институт  управления, информации и бизнеса»

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:     

Студент 1 курса

Заочного отделения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

1. Условие задания……………………………………………………2
2. Решение……………….…………….....................………………...3
3. Список используемых источников………………..………………7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Условие задания

 

Вариант № 3

По данным, приведенным  в таблице, выполните следующие  задания:

1. Постройте  поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры  уравнений линейной парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи  с помощью показателей корреляции  и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью  F – критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное  значение результата, если прогнозное  значение фактора увеличится  на  от его среднего значения. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные  результаты, сделайте выводы.

Известны данные по территориям  Центрального района за 1995 год.

 

Район	Средний размер назначенных ежемесячных  пенсий, тыс. руб.,	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб.,
Брянская обл.	240	178
Владимирская  обл.	226	202
Ивановская  обл.	221	197
Калужская обл.	226	201
Костромская обл.	220	189
г. Москва	250	302
Московская  обл.	237	215
Орловская обл.	232	166
Рязанская обл.	215	199
Смоленская  обл.	220	180
Тверская обл.	222	181
Тульская обл.	231	186
Ярославская обл.	229	250

 

 

2. Решение

 

1. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + b*х решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n * a+b ∑x = ∑y,

      a ∑x + b ∑x² = ∑y * x.

По исходным данным рассчитываем ∑у, ∑х, ∑ух, ∑х², ∑у².

 

	y	x	yx	x2	y2	у/	y-y\	Аi	(xi-x-)2	(yi-y-)2
1	240	178	42720	31684	57600	224,55	15,45	6,44	652,21	134,92
2	226	202	45652	40804	51076	228,15	-2,15	0,95	2,37	5,69
3	221	197	43537	38809	48841	227,40	-6,40	2,90	42,75	54,53
4	226	201	45426	40401	51076	228,00	-2,00	0,89	6,44	5,69
5	220	189	41580	35721	48400	226,20	-6,20	2,82	211,37	70,30
6	250	302	75500	91204	62500	243,18	6,82	2,73	9694,67	467,22
7	237	215	50955	46225	56169	230,11	6,89	2,91	131,37	74,22
8	232	166	38512	27556	53824	222,74	9,26	3,99	1409,14	13,07
9	215	199	42785	39601	46225	227,70	-12,7	5,91	20,60	179,15
10	220	180	39600	32400	48400	224,85	-4,85	2,20	554,06	70,30
11	222	181	40182	32761	49284	225,00	-3,00	1,35	507,98	40,76
12	231	186	42966	34596	53361	225,75	5,25	2,27	307,60	6,84
13	229	250	57250	62500	52441	235,37	-6,37	2,78	2158,67	0,38
Итого:	2969	2646	606665	554262	679197	2969	0,00	38,13	15699,23	1123,08
	y	x	yx	x2	y2	у/	y-y\	Аi	(xi-x-)2	(yi-y-)2
Среднее значение	228,38	203,54	46666,54	42635,54	52245,92	x	x	2,93	x	x
σ	9,29	34,75	х	х	х	x	x	x	x	x
σ2	86,39	1207,63	х	х	х	x	x	x	x	x

 

b = (y*x - y*x) / σ²_x = (46666,54 - 228,38*203,54) / 34,75² = 0,15,

a = y – b*x = 228,38 – 0,15*203,54 = 197,80

Уравнение регрессии: у = 197,80 + 0,15 * х. С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров увеличивается в среднем на 0,35 %-ных пункта.

Рассчитаем  линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy = b*(σ_x/σ_y) = 0,15*(34,75/9,29) = 0,56

Связь средняя, прямая.

Определим коэффициент  детерминации:

r²_xy = (0,15)² = 0,316

Вариация результата на 31,6% объясняется вариацией фактора  х.

Подставляя  в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения у_х. Найдем величину средней ошибки аппроксимации А:

А = (1/n)*∑ Аi = (38,13 *100)/13 = 2,93 %

В среднем расчетные  значения отклоняются от фактических  на 2,93 %.

Рассчитаем F - критерий:

F_факт = (0,316/(1-0,316))*(13-2)=5,08,

Поскольку 1 ≤ F ≤ ∞, следует рассмотреть F^-1.

Полученное  значение указывает на необходимость  принять гипотезу Н_о о случайной природе выявленной зависимости и статистической значимости параметров уравнения и надежности.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей от нуля: a = b = r_xy = 0.

t_таб для числа степеней свободы df = n – 2 = 13 – 2 = 11 и α = 0,05 составит 2,2010.

Определим случайные  ошибки m_a, m_b, m_{r xy}:

m_a = 8,36 * (√554262/(13*34,75)) = 13,77

m_b =  8,36 / (34,75*√13) = 0,067

m_{r xy} = √((1 - 0,316)/(13 – 2)) = 0,25

Тогда

t_a = 197,8/13,77 = 14,36

t_b = 0,15/0,067 = 2,24

t_r = 0,56/0,25 = 2,24

Фактические значения t-статистически превосходят табличных значений:

t_a = 14,36 > t_табл = 2,2010

t_b = 2,24 > t_табл = 2,2010

t_r = 2,24 > t_табл = 2,2010

поэтому гипотезу Н_о отклоняется, т.е. a, b, r_xy не случайно отличаются от нуля, а статически значимы.

Рассчитаем  доверительный интервал для а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Δ_а = 2,2010 * 13,77 = 30,31

Δ_b = 2,2010 * 0,067 = 0,147

Доверительные интервалы:

γ_а = а ± Δ_а = 197,8 ± 30,31

γ_{а min} = 197,8 – 30,31 = 167,49

γ_{а max} = 197,8 + 30,31 = 228,11

γ_b = b ± Δ_b = 0,15 ± 0,15

γ_{b min} = 0,15 – 0,147 = 0,0025

γ_{b max} = 0,15 + 0,147 = 0,297

Анализ верхней  и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с  вероятностью р = 1 – α = 0,95 параметров а и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и отличаются от нуля.

Полученные  оценки уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза. Если прогнозное значение ежемесячной пенсии составит:

х_р = х *0,1 = 203,54 * 1,1 = 223,89 тыс.руб., тогда прогнозное значение ежемесячной пенсии составит:

у_р = 197,80 + 0,15*223,89 = 231,34 тыс.руб.

Ошибка прогноза составит:

m_{y p} = 8,36 * (√1 + (1/13) + ((223,89 – 203,54)²/ (13*34,75²))) = 8,78 тыс.руб.

Предельная  ошибка прогноза, которая в 95 % случаев не будет превышена, составит:

Δ_ур = t_табл * m_yp = 2,2010 * 8,78 = 19,32

Доверительный интервал прогноза:

γ_ур = 223,89 ± 19,32

γ_{ур min}= 223,89 - 19,32 = 204,57 руб.

γ_{ур max}= 223,89 + 19,32 = 243, 21 руб.

Выполненный прогноз  средней назначенной ежемесячной пенсии оказался надежным (р = 1 – α = 1- 0,05 = 0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D, составляет 1,19 раза:

D_γ = γ_{у max/}/ γ_{у min} = 243,21 / 204,57 = 1,19.

 

 

 

 

3. Список используемых источников

 

1. Эконометрика: учебник под редакцией член – корреспондента Российской Академии наук И. И Елисеевой. Финансы и статистика 2002г.;

2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / И. И Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; под редакцией И. И Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.: ил.

3. Магнус Я.  Р. , Катыщев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика: Начальный курс . – М.:Дело,1998

4. Айвазян С.  А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник. – М.: ЮНИТИ,1998.

5. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика,1999.

6. Эконометрика: Метод. указания/О.Н. Туманова. –  Ухта: Институт управления, информации  и бизнеса, 2003 – 25с.