Контрольная работа по «Математические методы и модели в экономике»

 

f(x) = 2*190+3*210 + 6*10 + 130 + 4*100 + 4*260 + 8*30 = 2880

 

Задание 3 Разработка модели производственно-отраслевой структуры организации.

Площадь пашни в сельскохозяйственной организации составляет 3000 га, сенокосов  – 1000 га, пастбищ – 800 га. В хозяйстве  возделываются пшеница, озимая рожь, овес, турнепс и картофель, животноводческий подкомплекс включает коров, молодняк КРС и овец. Для содержания одной коровы требуется 1,9 га пашни, 0,5 га сенокосов и 0,2 га пастбищ, молодняка КРС – 1 га пашни, 0,5 га сенокосов, 0,1 га пастбищ, овец – 0,3 га пашни, 0,09 га сенокосов, 0,05 га пастбищ. При необходимости 700 га сенокосов может быть трансформировано в пашню. Площадь зерновых должна быть не менее, чем в 6 раз больше площади пропашных. Хозяйство располагает трудовыми ресурсами в размере 200 тыс. чел-ч. Затраты труда составляют на 1 га посевов пшеницы - 3 чел-ч, озимой ржи – 2, овса- 2,1, турнепса – 65, картофеля – 65 чел-ч, а на одну голову молодняка КРС – 95, корову - 205, овцу – 8 чел-ч. Объем производства молока в хозяйстве должен быть не менее 5000 ц, мяса – 500 ц, шерсти – 5 ц. Продуктивность животных на одну голову: овцы – 0,3 ц мяса, 0,035 ц шерсти, коров - 23 ц молока, молодняка КРС – 1,5 ц мяса. Поголовье молодняка КРС в структуре стада КРС должно быть не менее 63%. Прибыль от реализации продукции составляет с 1 га пшеница – 2, озимой ржи – 2,6, турнепса – 4,5, картофеля - 6 тыс. руб., с одной головы овец 0,9, коров – 3, молодняка КРС – 2,5 тыс. руб. Требуется разработать ЭММ производственно-отраслевой структуры организации и ее матрицу. Критерий оптимальности – максимум прибыли.

 

Прибыль

№ п/п	Наименование продукции	Прибыль, тыс. руб. с 1 га
1	Пшеница	3
2	Озимая рожь	2,6
3	Ячмень	2,6
4	Турнепс	4,5
5	Картофель	6
6	Корова	3
7	Молодняк	2,5
8	Овцы	0,9

 

Содержание животноводства

	Пашня	Сенокос	Пастбище
Корова	1,9	0,5	0,2
Молодняк	1	0,5	0,1
Овцы	0,3	0,09	0,05

 

Затраты труда 

№ п/п	Наименование продукции	Затраты, чел. ч.
1	Пшеница	3
2	Озимая рожь	2
3	Ячмень	2,1
4	Турнепс	65
5	Картофель	65
6	Корова	205
7	Молодняк	95
8	Овцы	8

 

Продуктивность, ц

	Мясо	Молоко	Шерсть
Корова		23
Молодняк	1,5
Овцы	0,3		0,035

 

Система переменных.

х₁ – площадь пшеницы;

х₂ – площадь озимой ржи;

х₃ – площадь овса;

х₄ – площадь турнепса;

х₅ – площадь картофеля;

х₆ – поголовье коров;

х₇ – поголовье молодняка КРС;

х₈ – поголовье овец;

х₉ – площадь сенокосов;

х₁₀ – площадь пастбищ;

 

Система ограничений

I. Блок ограничений по использованию производственных ресурсов:

1) Пашня

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + х₉ £ 3000 + 700 га

2) Сенокосы

х₉ £ 1000 га

3) Пастбища

х₁₀ £ 800 га

4) Трудовые ресурсы

3х₁ + 2х₂ + 2,1х₃ + 65х₄ + 65х₅ + 205х₆ + 95х₇ + 8х₈  £  200 000

 

II. Блок ограничений по дополнительным требованиям

5) Площадь зерновых больше в  7 раз площади пропашных.

6(х₄+х₅) £ (х₁+х₂+х₃)

преобразим и приведем к нулю:

6х₄ + 6х₅ - х₁ - х₂ - х₃ £ 0

6) поголовье молодняка в структуре  стада КРС должно быть не  менее 50%

0,63(х₆ + х₇) £ х₇

преобразим и приведем к нулю:

0,63х₆  - 0,37х₇ £ 0

 

III. Блок ограничений по содержанию животноводства :

7)  коровы

х₆ = 1,9(х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅) + 0,5х₉ + 0,2х₁₀

1,9х₁ + 1,9х₂ + 1,9х₃ + 1,9х₄ + 1,9х₅ + 0,5х₉ + 0,2х₁₀ - х₆ = 0

8) молодняк КРС

х₇ = (х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅) + 0,5х₉ + 0,1х₁₀

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ + 0,5х₉ + 0,1х₁₀ - х₇ = 0

9) овцы

х₈ = 0,3(х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅) + 0,09х₉ + 0,05х₁₀

0,3х₁ + 0,3х₂ + 0,3х₃ + 0,3х₄ + 0,3х₅ + 0,09х₁₀ + 0,05х₁₁ - х₈ = 0

 

IV. Блок ограничений по производству:

10) Молоко

23х₆ ³ 5000

11) Мясо

1,5х₇ + 0,3х₈ ³ 500

12) Шерсть

0,035х₈ ³ 5

 

Z – Целевая функция:

Z = 3х₁ + 2,6х₂ + 2,6х₃ + 4,5х₄ + 6х₅ + 3х₆ + 2,5х₇ + 0,9х₈ → max

 

Матрица

	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10
1	1	1	1	1	1						£	3700
2									1		£	1000
3										1	£	800
4	3	2	2,1	65	65	205	95	8			£	200000
5	-1	-1	-1	6	6						£	0
6						0,63	-0,37				£	0
7	1,9	1,9	1,9	1,9	1,9	-1			0,5	0,2	=	0
8	1	1	1	1	1		-1		0,5	0,1	=	0
9	0,3	0,3	0,3	0,3	0,3			-1	0,09	0,05	=	0
10						23					≥	5000
11							1,5	0,3			≥	500
12								0,035			≥	5
Z	3	2,6	2,6	4,5	6	3	2,5	0,9			→	max

 

Задание 4. Разработать  рацион кормления коров с минимальной  себестоимостью. Задачу решить графическим методом. Исходные данные приведены в таблице.

 

Вид питательного вещества	Содержание питательных веществ  в 1 кг		Минимальная потребность
	сена	картофеля
Кормовые единицы, кг.	0,45	0,3	30
Переваримый протеин, гр.	120	10	3600
Каротин, мг.	30	2	1500
Себестоимость, руб.	1,2	1	min

Содержание картофеля в рационе  не должно быть менее 30% физического веса рациона.

Содержание сена в рационе не должно быть менее 50% в питательном  рационе.

Разработать рацион кормления коров  с минимальной себестоимостью.

 

Решение:

х₁-  сено

х₂ – картофель

Ограничения по потребности

0,45х₁ + 0,3х₂ ³ 30

120х₁ + 10х₂ ³ 3600

30х₁ + 2х₂ ³ 1500

х₁³ 0, х₂ ³ 0

Ограничение по составу

х₂ ³ 0,3(х₁ + х₂) или 0,3х₁ - 0,7х₂ £ 0

х₁ ³ 0,5(х₁ + х₂) или -0,5х₁ + 0,5х₂ £ 0

Целевая функция

1,2х₁ + х₂  → min

 

Наносим на график уравнения ограничения.

 

После этого определяем область  допустимых значений.

Чертим вектор с координатами (1,2; 1) и линии уровня, перпендикулярные ему. Видим, что линия уровня пересекает область в точке (1).

Найдем координаты точки (1). Это  точка пересечения прямых

0,3х₁ - 0,7х₂ = 0 и 0,45х₁ + 0,3х₂ = 30

х₂ = 0,3/0,7х₁

Подставим во второе уравнение.

0,45х₁ + 0,3*0,3/0,7х₁ = 30

Откуда х₁ = 51,85 кг

х₂ = 22,22 кг

Себестоимость: Z = 1,2*51,85 + 1*22,22 = 84,44 руб.

 

Задание 5

Дана математическая запись модели:

3x₁ - 5х₂ - 6х₃ ≥ 9;

-4x₁+3x₂ – х₃ ≤ -9;

3x₁+5x₂ ≤ 6;

F(x) = -5x₁ + 3х₂ - 3х₃ → max.

Решить задачу оптимизации модели модифицированным симплексным методом.

 

Решение:

Умножим второе неравенство на (-1).

3x₁ - 5х₂ - 6х₃ ≥ 9;

4x₁-3x₂ + х₃ ≥ 9;

3x₁+5x₂ ≤ 6;

F(x) = -5x₁ + 3х₂ - 3х₃ → max.

 

Для построения первого опорного плана систему  неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

3x₁-5x₂-6x₃-1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 9

4x₁-3x₂ + 1x₃ + 0x₄-1x₅ + 0x₆ = 9

3x₁ + 5x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 6

 Решение  состоит из двух этапов. Первый  этап - введение искусственного базиса (единичной матрицы) и поиск первого опорного плана (без учета целевой функции). Второй этап - поиск оптимального решения на основе целевой функции.

 Первый этап. Для нахождения начальной допустимой базы воспользуемся методом искусственного базиса.

 Имеем:

 Матрица  коэффициентов A = a_ij

3	-5	-6	-1	0	0	1	0
4	-3	1	0	-1	0	0	1
3	5	0	0	0	1	0	0

 Матрица b.

 

 Итерация №1.

<X> = (7, 8, 6)

 

 Матрица c.

c = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1)

c_B = (1, 1, 0)

c_N = (0, 0, 0, 0, 0)

 

 Вычисляем:

 Матрицу B^-1 вычисляем через алгебраические дополнения.

 

u = c_BB^-1 = (1, 1, 0)

 

c^* = c_N - uN = (-7, 8, 5, 1, 1)

 Откуда s = 1

 

 

 Откуда r = 3

 Итерация №2.

<X> = (7, 8, 1)

 

 Матрица c.

c = (-7, 8, 5, 1, 1, 0, 0, 0)

 Вычисляем:

 

u = c_BB^-1 = (0, 0, -2.33)

 

c^* = c_N - uN = (19.6667, 5, 1, 1, 2.33)

 Нулевая строка симплексной  таблицы неотрицательна. Первый  этап симплекс-метода завершен.

 Второй этап. Удаляем столбцы с искусственными переменными. Заменим вектор оценок С на целевую функцию.

 Выразим базисные переменные:

x₁ = 2+1.67x₂+0.3333x₆

 которые подставим в целевую  функцию:

F(X) = -5(2+1.67x₂+0.3333x₆) + 3x₂-3x₃