Контрольная работа по "Математическому анализу"

 

Федеральное агентство  по образованию

Московский  государственный  университет технологий и управления МГУТУ 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

 Вариант: 8

 

 

 

 

Выполнил:

Факультета: Э и Б

Специальность:

Шифр:

Домашний адрес:

 

Работа сдана на проверку:

Преподаватель:

Оценка: _____________________

 

 

 

 

2012 

СОДЕРЖАНИЕ

Задание №1/8                                                                                    3

Задание №2/18                                                                                  6

Задание №3/28                                                                                  7

Задание №4/38                                                                                  9

Задание №5/48                                                                                 12

Задание №6/58                                                                                 15

Задание №7/68                                                                                 16

 

 

Задание 1. Найти указанные  пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а). 

Если подставить в выражение  х= , то получится не определенность .

Решение:

 

б). 

 

Решение:

 

 

 

в). 

Решение:

 

 

 

 

 

г). 

Решение:

Воспользуемся свойством эквивалентности  бесконечно малых функций

 

 

Предел запишется

 

 

 

 

д). 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертёж.

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

Следовательно, в точке x=-3 разрыв первого рода; в точке x=0 функция непрерывная.

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3. Найти производные данных функций.

а). 

Решение:

 

б). 

Решение:

 

в). 

Решение:

г). 

 

Решение:

 

 

д). 

 

Решение:

Дифференцируем по x

Отсюда

Отсюда

Задание 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функции ; используя результаты исследования, построить ее график.

Исследуем функцию, заданную формулой:

1) Область определения: множество  всех действительных чисел.

2) Точки пересечения с осью  :

Так как     или           или      

    

                  

    или                        

               ;              

Таким образом: .

Точки пересечения с осью :

Пусть        

3) Функция ни нечётная, так как

= = =

   и          

Симметрия относительно начала координат: нет. Симметрия относительно оси  ординат: нет.

4) Функция всюду непрерывная.  Точек разрыва нет.

5) Вертикальных асимптот нет.  Наклонных асимптот нет, так  как 

 стремится к бесконечности  при  стремящемся к бесконечности.

 стремится к бесконечности  при  стремящемся к бесконечности.

6) Первая производная:  так как

= = =

Критические точки: так как   или        или   

7) Вторая производная:  так как

= = ===.

Критические точки: так как   или        или   

Возможные точки перегиба: .

8) Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции  занесем в таблицу.

Тестовые интервалы:				характер графика
	+	-	+	убывает, выпукла вниз
		-	+
	-	-	+	убывает, выпукла вниз
			+	относительный минимум
	-	+	+	возрастает, выпукла вниз
		+		точка перегиба
	+	+	-	возрастает, выпукла вверх
			-	относительный максимум
	+	-	-	убывает, выпукла вверх
		-	-
	-	-	-	убывает, выпукла вверх

 

 

Относительные экстремумы:

Относительный минимум .

Относительный максимум .

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

                                                                                                                                                                                                                                          

 

 

Задание 5. Найти неопределенные интегралы.

а). 

Решение:

 Сделаем замену    тогда

 и интеграл запишется

б). 

Решение:

 Используем формулу интегрирования по частям

   Тогда 

Интеграл запишется

в). 

 

Решение:

 Выделим целую часть

 Разложим на простые дроби

Интеграл запишется

г). 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

Задание 6. Вычислить несобственный интеграл или доказать расходимость.

а). 

Решение:

Интеграл расходится.

б). 

Решение:

 

Интеграл расходится.

 

 

 

 

 

Задание 7. Вычислить площадь  фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

 

Решение:

 Найдем точки пересечения 

Отсюда   или 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь фигуры

Изм	Лист	№ докум.	Подпись	Дата
Разработ.						Литер.	Лист	Листов
Проверил								16
Зав. каф.
Н. контр.
Утвердил

 

	Лист