Модель A. минимизации целевого фонда

Модель A. минимизации целевого фонда.

Предположим, что в определенные моменты времени необходимо выплачивать  известные суммы денег по сделанному ранее займу. Чтобы накопить эти  суммы, можно заранее создать  целевой фонд, а средства этого  фонда, а средства из этого фонда  использовать для срочных вкладов. Каждый срочный вклад характеризуется  моментом времени вложения, сроком погашения и доходностью. Задача состоит в том, чтобы определить минимальный размер целевого фонда и выбрать те виды срочных вкладов, которые следует использовать, чтобы сделать выплату по займу.

Введем следующие обозначения:

у - размер целевого фонда, создаваемого в момент времени 0;

t - текущий момент времени, t = 0, 1, …,Т;

d_t - размер выплаты по займу, которую надо произвести в момент времени t = 0, 1, …,Т;

j - индекс срочного вклада, j = 1, …, n;

v_j - момент времени вложения по срочному вкладу j;

w_j - срок выплаты по срочному вкладу j;

r_j - доходность срочного вклада j (процент по вкладу);

х_j - объем вложений по срочному вкладу j.

Предполагается, что для  любого срочного вклада момент времени  вложения фиксирован. Если по срочному вкладу j сделаны вложения в размере х_j, то через w_j единиц времени вкладчику выплачивается сумма (1+r_j)х_j. Без ограничения общности можно считать, что для любого момента времени существует такой вклад, выплата по которому производится в следующий момент времени. При этом доходность такого вклада может быть нулевая. Использование вклада с нулевой доходностью означает, что деньги остаются на руках у владельца.

Пусть G_t - множество индексов j таких, что t = v_j, т.е. по вкладу j сделано вложение в момент времени t;

Q_t - множество индексов j таких, что t = v_j + w_j, т.е. по вкладу j получена выплата в момент времени t.

Заметим, что для любого t множества G_t, и Q_t, известны. Тогда модель имеет следующий вид:

 

      (1) 

    (2) 

  (3)

     (4)

   (5)

где (1) - целевая функция - минимальный размер целевого вклада;

(2) - условие, характеризующее распределение целевого фонда по вкладам в нулевой момент времени;

(3) - соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(4) - условие, обеспечивающее выплату по займу;

(5) – условия неотрицательности переменных.

Модель Б. Максимизация дохода.

Предположим, что инвестор собирается делать вклады для того, чтобы через определенный период времени получить максимальный доход. Задача состоит в том, чтобы определить величину максимального дохода при  фиксированном размере целевого фонда и выбрать те виды срочных  вкладов, которые следует использовать.

Сохраним принятые выше обозначения  и введем новые:

z - размер дохода, который может получить вкладчик в момент времени Т;

u_t - размер вклада в момент времени t, t = 0, 1, …, T - 1.

Тогда модель имеет следующий  вид:

      (6)

    (7)

 (8)

   (9)

   (10)

где (6) - целевая функция - максимизация размеров дохода;

(7) - условие, характеризующее распределение вклада в нулевой момент времени;

(8) - соотношения, устанавливающие баланс между выплатами и вложениями;

(9) - условие, определяющее  величину дохода;

(10) - условия неотрицательности переменных.