Обобщенный метод наименьших квадратов

    Допустим что , К=х1 и , то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

      Если предположить, что ошибки пропорциональны хр, то модель примет вид:

   Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных х/К имеют относительно больший вес при определении параметров регрессии, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем следует иметь в виду, что новые, преобразованные переменные получают новое экономическое содержание регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.

    Пример. Пусть у — издержки производства, х1- объем ,продукции, х₂ — основные производственные фонды, х₃ - численность работников, тогда уравнение

, является моделью издержек производства с объемными факторами. Предполагая, что пропорциональна квадрату численности работников х₃, мы получим в качестве результативного признака затраты на одного работника (у/х₃), а в качестве факторов следующие показатели: производительность труда (х1/х₃) и фондовооруженность труда (х₂/х₃). Соответственно трансформированная модель примет вид:

где значения параметров b₁ b₂, b3 не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме того, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание: из показателей силы связи, характеризующих среднее абсолютное изменение им издержек производства с изменением абсолютной величины соответствующего фактора на единицу, они фиксируют при обобщенном МНК среднее изменение затрат на работника с изменением производительности труда на единицу при неизменном уровне фондовооруженности труда; и с изменением фондовооруженности труда на единицу при неизменном уровне производительности труда.

  Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату объема продукции можно перейти к уравнению регрессии вида

  В этом уравнении  новые переменные: у/х₁ — затраты на единицу (или на 1 руб.) продукции, Х2/Х1 — фондоемкость продукции, X3/Х1 — трудоемкость продукции.

  Гипотеза  о пропорциональности остатков величине фактора может иметь реальную основу: при обработке недостаточно однородной совокупности, включающей как крупные, так и мелкие предприятия; большим объемным значениям фактора могут соответствовать большая дисперсия результативного признака и остаточных величин.

При наличии  одной объясняющей переменной гипотеза

 приводит к трансформации  линейного уравнения

В уравнение 

в котором параметры  а и b поменялись местами, константа стала коэффициентом наклона линии регрессии, а коэффициент регрессии — свободным членом.

     Обобщенный метод наименьших квадратов устраняет гетероскедастичность, если известна взаимосвязь ошибок регрессии с фактором х (например, на основе рассмотренных тестов гетероскедастичности). Иными словами, должны быть установлены коэффициенты пропорциональности Ki, что и приводит к решенному методу наименьших квадратов. 
 
 
 
 

Список  использованной литературы 

1. Елисеева  И.И Эконометрика,2003г
2. Суслов В.И Эконометрия.