ФЕДЕРАЛЬНОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ЛИПЕЦКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ 

Лабораторная  работа №1

“ Парная линейная регрессия”

по дисциплине

«Эконометрика» 

 
 
 

Липецк 2011

 

Задание кафедры

Задав теоретические параметры уравнения множественной линейной регрессии ŷ = a+bx+ε, значения случайной ошибки ε, значения фактора x, получить фактическое значение результата ŷ. Найти точечные оценки параметров линейной регрессии с использованием МНК, сравнить их с теоретическими значениями. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции r_xy. Сделать вывод о связи между фактором и результатом. 

Оглавление 

 

Краткая теория

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров. Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

                      

или .    (1)

Уравнение вида у_х = а + b * х позволяет по заданным значениям фактора х иметь теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения факторах.  

Рис. 1. Графическая оценка параметров линейной регрессии

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров — а и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Можно обратиться к полю корреляции и, выбрав на графике две точки, провести через них прямую линию .Далее по графику можно определить значения параметров. Параметр а определим как точку пересечения линии регрессии с осью оу, а параметр b оценим, исходя из угла наклона линии регрессии, как dy/dx, где dy — приращение результата у, a dx — приращение фактора х, т. е. у_х = а + b * х.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) у_х минимальна:

                                       

                                           (2)

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной .

Следовательно, .

Рис. 2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков

Чтобы найти минимум функции (2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров а и b и приравнять их к нулю.

Обозначим через S, тогда:

Преобразуя эту формулу, получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b:

Решая данную систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами:

                                              

      (3)

Формула (3) получена из первого уравнения системы, если все его члены разделить на n.

Где – ковариация признаков, – дисперсия признака x.

Ввиду того, что , получим следующую формулу расчета оценки параметра b:

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.  
 
 

 

Выполнение  работы

1. Задаём  параметры a и b, а=68, b=-38.
2. Задаём значения случайной ошибки ε при помощи функции СЛЧИС(),

-1≤ ε ≤1.

3. Задаём значения  фактора Х, Х=1, 2,3, …, 100.

4. По формуле рассчитываем фактическое значение результата ŷ.

5. При помощи  метода наименьших квадратов  рассчитываем точечные оценки параметров линейной регрессии:

;

6. Сравниваем и b, и a.

7. По формуле  рассчитываем линейный коэффициент парной корреляции . 

Вывод

Во время выполнения лабораторной работы мы вычислили фактическое значение ŷ. Используя МНК, вычислили точечные оценки параметров линейной регрессии и и сравнили их с теоретическими значениями b и a. Причём, , а . Также был рассчитан линейный коэффициент парной корреляции: , что свидетельствует о сильной линейной связи между фактором и результатом. 

Библиографический список

1. Эконометрика  под ред. И.И.Елисеевой. – М. Финансы и статистика,2004.-344с.
2. Е.В.Кузнецова, Т.П.Фомина. Основы теории вероятностей и математической статистики.-Липецк. ЛГТУ, 2009.-180с.