Производственные функции

        Из рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

      Изокванты являются подобием кривых безразличия  с той лишь разницей, что они отражают ситуацию не в сфере потребления, а в сфере производства. Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS). Рассмотрим эту величину на примере двухфакторной производственной функции Q(y,x). Предельная норма технологического замещения измеряется соотношением изменения фактора y к изменению фактора х. Поскольку замена факторов происходит в обратном отношении, то математическое выражение показателя MRTS берется со знаком минус:   .

      На  рисунке 3 изображена одна из изоквант ПФ Q(y,x)

      Рис. 3.

      Если  взять какую-либо точку на этой изокванте, например, точку А и провести к  ней касательную КМ, то тангенс  угла даст нам значение MRTS:

       .          Можно отметить, что в верхней части изокванты угол будет достаточно велик, что говорит о том, что для изменения фактора х на единицу требуются значительные изменения фактора y. Следовательно, в этой части кривой значение MRTS будет велико. По мере движения вниз по изокванте значение предельной нормы технологического замещения будет постепенно убывать. Это означает, что для увеличения фактора х на единицу потребуется незначительное уменьшение фактора y. При полной заменяемости факторов изокванты из кривых преобразуются в прямые.

      Рис. 4.

      Остановимся на некоторых характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида .   Как уже было отмечено выше, отношение (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Эту предельную величину иногда интерпретируют, используя близкое к ней отношение малых конечных величин . Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса.

      Например, в ПФКД для средних производительностей  основного капитала у/К и труда  у/L используются соответственно термины капиталоотдача и производительность труда:

      Определим для этой функции предельные производительности факторов:

                 и  .

      Таким образом, если , то (i=1,2), то есть предельная производительность i-го ресурса не больше средней производительности этого ресурса. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства          или приближенно     .

      Таким образом, эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент  эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у  к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Сумма + =Е называется эластичностью производства.  
 

Заключение 

       Выше  достаточно подробно были изучены разные виды  ПФ . Производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом, главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия. В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию

      Также были построены изокванты и изоклинали , найдены нормы замены ресурсов, было выяснено, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю. К основным выводам работы также можно отнести: 

1. В производственной функции с одним переменным фактором величина общего продукта, начиная  с определенного объема данного  переменного фактора, убывает.
2. Изокванта показывает максимальную величину продукта, которую можно получить при различных комбинациях переменных факторов.
3. При возрастании объемов производства возникает три варианта эффекта масштаба производства: постоянная, возрастающая и убывающая отдача от масштаба.
4. Отношение предельной производительности i-го фактора к его средней производительности называется эластичностью выпуска по i-му фактору производства.

Литература

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика.  Учебник для вузов. – М., 2002.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.
4. Салманов О. Математическая экономика. –  
   М.: BHV,  2003.
5. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.
6. Микроэкономика/ Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.