Решение математических задач

 

     Запишем математическую модель закрытой транспортной задачи (запас горючего у поставщиков равняется суммарному спросу потребителей):

       1) объем поставок i-гo поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза:

          

          100+100=200 (т)  

       2) объем поставок j-му потребителю должен быть равен его спросу:

 

 66,667*3=200 (т)

       3) запас груза у поставщиков  должен равняться суммарному  спросу потребителей:

      200 (т)=200 (т) 

       4) размер поставок должен выражаться  неотрицательным числом:

, где x_ij – количество топлива

       5) общая сумма затрат на перевозку  груза должна быть минимальной:

    Математическая  модель задачи имеет вид:

    Ограничения:

      Х₁₁ + Х₂₂+ Х₁₃ = 100; 

      Х₂₁ + Х₂₂ + Х₃₃ =100;

      Х₁₁ + Х₂₁ ≤ 66,667;

      Х₁₂ + Х₂₂  ≤ 66,667;

      Х₁₃+ Х₃₃ ≤ 66,667;

    Целевая функция:

    F= Х₁₁ + 3Х₁₂ + 5Х₁₃ + 2Х₂₁ + 5 Х₂₂ + 4Х₃₃ →min

    Оформим решение задачи на листе Excel 

      

    Получаем:

      

    Оптимальный план перевозки топлива с минимальными расходами по ее доставке следующий:

    Х₁₁ =33,333  т, Х₁₂= 66,667 т, Х₁₃ = 0 т,

    Х₂₁ = 33,333   т, Х₂₂ = 0 т, Х₂₃ = 66,667 т.

    Таким образом, из пункта А1 в В1 перевозится 33,333  топлива , в В2 – 66.667 т., в В3 – 0 т.; из А2 в В1 – 33.333 т. топлива, в В2 – 0 т, в В3 – 66,667т. Общие минимальные транспортные расходы составят 566,667 ден.ед.

Задача 4

     Спрос на продукцию инструментального  цеха составляет 6200 ед. в год. Стоимость  хранения, включая потери, связанные  с моральным старением, составляет 496 ден. ед. за единицу в год. Издержки размещения заказа равны 1296 ден. ед. Неудовлетворенные требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют 3600 ден. ед. за нехватку единицы продукции в течение года. Найти оптимальную партию поставки, максимальную величину задолженного спроса, интервал возобновления поставки, точку размещения заказа (время доставки – 0,5 месяца) и годовые потери функционирования системы.

РЕШЕНИЕ:

1. Рассчитаем оптимальную  партию поставки:

q* x = 180 x 1.0670 =192,06 ;

2. Рассчитаем максимальную величину задолженного спроса:

 

y* = x x = 23,275 ;

3. Рассчитаем интервал возобновления поставок:

τ* = x 180 x 1,067 = 5,954 ; 

4. Рассчитаем  точку размещения заказа:

      r = x x180 – 23,275 = 96,725.

     Задача  № 5

     В аудиторскую фирму поступает  простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью λ=1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в  среднем трем дням. Аудиторская фирма  располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские  проверки ( обслуживание заявок ). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.

Дано:

λ= 1,5 заявки в день;

t = 3 дня;

n = 5

   Решение:

1. Рассчитаем интенсивность обслуживания:

t_обс: = 1/3 = 0,333333;

2. Рассчитаем относительную нагрузку на систему:

= 1,5 / 0,333333 = 4,5;

3. Рассчитаем вероятность состояний системы:

 

P₀ = [ 1 + 4,5 / 1! + 4,5² / 2! + 4,5³ / 3! + 4,5⁴ / 4! + 4,5⁵ / 5! + 4,5⁵ / 5! + 4,5⁵ / 5!]^-1 = [ 1+ +4,5 / 1 + 20,25 / 1*2 + 91,125 / 1*2*3 + 410,0625 / 1*2*3*4 + 1845,28125 / 1*2*3*4*5 +  +1845,28125 / 1*2*3*4*5 + 1845,28125 / 1*2*3*4*5 = [ 1 + 4,5 + 10,125+ + 15,1875 + 17,0859375 + 15,37734375 + 15,37734375 + 15,37734375 ]^-1 = =1/94.03046875 = 0,010635; 

 Р_k  , ( 1≤ k ≤n ); значит,

k =n =  1,2,3,4,5.

Р₁ = 4,5¹ / 1! * 0,010635 = 0,0478575;

Р₂ = 4,5² / 2! * 0,010635 = (20,25 / 1*2) * 0,010635 = 0,107679;

Р₃ = 4,5³ / 3! * 0,010635 = 15,1875 * 0,010635 = 0,161519;

Р₄ = 4,5⁴ / 4! * 0,010635 = 17,0859375 * 0,010635 = 0,181709;

Р₅ = 4,5⁵ / 5! * 0,010635 = 15,37734375 * 0,010635 = 0,163538. 

4. Рассчитаем  вероятность отказа:

 = (4,5⁵ / 5! ) * 0,010635 = 0,163538;

5. Рассчитаем относительную пропускную способность:

= 1 – 0,163538 = 0,836462;

6. Рассчитаем абсолютную пропускную способность:

A = λ q = 1,5 * 0,836465 = 1,254693;

7. Рассчитаем число занятых каналов:

= 4,5 * 0,836462 = 3,764079.