Система массового обслуживания М/М/1

 

 

 

Лабораторная  работа № 1

по дисциплине: Математическое моделирование объектов и систем управления

«Система массового обслуживания М/М/1»

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель работы: исследовать систему массового обслуживания, провести моделирование системы М/М/1, на основе которого выполнить сравнительный анализ системы  при изменении переменных .

 

Описание системы  М/М/1

 

В соответствии с классификацией Кендалла система М/М/1 представляет собой однолинейную СМО с накопителем неограниченной емкости (с ожиданием). В систему поступает пуассоновский поток заявок, интенсивность которого обозначают через λ. Времена обслуживания заявок являются независимыми (в совокупности) случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону с параметром µ. Система М/М/1 относится к числу экспоненциальных СМО, в которых интервалы между поступлениями заявок и их времена обслуживания распределены по экспоненциальному закону, и, как следствие этого, является простейшей марковской СМО, т.е. ее функционирование описывается марковским процессом с непрерывным временем и счетным числом состояний.

М – входной поток (марковский). Тип входного потока говорит о распределении времени между поступлением заявок в систему.

М – время обслуживания

1 – количество серверов

 

Расчетные формулы:

 

Занятость сервера:

 

Время обслуживания сервера:

 

Среднее время нахождения в системе:

 

Среднее время нахождения в очереди:

 

Среднее число заявок в системе:

 

Среднее число  заявок в очереди:

 

 

Модули программной  среды Arena

Модуль Create

 
Рисунок 2 – Модуль Create

Этот модуль является отправной  точкой для сущностей в имитационной модели. Сущности – это индивидуальные элементы, обрабатываемые в системе. Создание сущностей модулем происходит по расписанию, или же основываясь  на значении времени между прибытиями сущности в модель. Покидая модуль, сущности начинают обрабатываться в  системе. Тип создаваемых сущностей  определяется в этом модуле.

Применение:

• прибытие различных документов в сфере бизнеса (например: заказы, чеки, документация);
• прибытие клиентов в сфере обслуживания (например: в ресторан, в магазин);
• начало изготовления продукции на производственной линии.

Модуль Process

 

Рисунок 3 – Модуль Process

Этот  модуль является основным модулем процесса обработки в имитационной модели. В модуле имеются опции использования  ресурсов. Кроме стандартного модуля Process, можно использовать подмодель, придавая ей особую, определенную пользователем, иерархическую логическую схему. В модуле можно также задавать добавочные стоимостные и временные характеристики процесса обработки сущности.

Наиболее  частое применение модуля Process:

• проверка документов;
• выполнение заказов;
• обслуживание клиентов;
• обработка деталей.

Модуль Decide

 
Рисунок 4 – Модуль Decide

Этот модуль позволяет учитывать  принятие решений в модели. Он включает опции принятия решений основанных на условии By Condition (например, если тип сущности Car) или основанных на вероятности By Chance (например, 75% - true, а 25% - false). Условия могут быть основаны на значении атрибута Attribute, значении переменной Variable, типе сущности Entity Type или основанные на выражении Expression.

Если поставленное условие не выполняется  то, сущности будут покидать модуль через ветку False.

Данный модуль позволяет выполнять  проверку не только одного условия, но и нескольких. Это достигается  с помощью свойства Type→N–way by Chance/by Condition. В зависимости от условия сущность идет по нужной ветке.

Применение:

• разделение дел на срочные дела и несрочные;
• перенаправление недоделанных или сделанных неправильно работ на доработку.

Модуль Dispose

 
Рисунок 5 – Модуль Dispose

Этот модуль является выходной точкой из имитационной модели. Статистика о  сущности может собираться до того момента пока она не выйдет из системы.

Применение:

• Окончание бизнес процесса;
• Клиенты покидают отдел.

Таблица 8. Параметры модуля Dispose

Ход работы

 

1. Создаем схему лабораторной работы.

Рисунок 6. Схема  лабораторной работы

2. Задаем параметры для системы.

Для начала задаем в блоке Create значение интенсивности поступления запросов (): в поле Value записываем значение 1/.

Рисунок 7. Свойства блока Create

В блоке Process добавляем ресурс.

Рисунок 8. Диалоговое окно Add resources в свойствах блока Process.

Затем в блоке Process задаем значение интенсивности обслуживания (): в поле Expression записываем 1/.

Рисунок 9. Свойства блока Process

 

Задаем условие в  блоке Decide для отбора первой сущности:

 

Добавляем на схему часы Clock с цифровым дисплеем и форматом времени: 24 часа.

Рисунок 10. Параметры  блока Clock

3. На следующем этапе запускаем программу нажатием кнопки Play и наблюдаем за процессом работы.

 

 

 

 

 

Рисунок 11. Программа в режиме работы

4. После окончания симуляции программа предлагает вывести результат. Результат программа выводит на 3 страницах, который можно сохранить в формате, который понимает MS Excel.

Рисунок 12. Демонстрация результатов симуляции процесса

 

5. Данный опыт проделывается для  различных значений . При изменении параметра значение , а при изменении параметра значние .

 

6. Результаты, полученные при проведении опытов запишем в таблицу.

Таблица 1. Экспериментальные значения

	NI	NO
	22,6	22,5	0,3706	1,937	1,020	2,956		0,224	0,595
	23,2	21,6	0,547	2,972	2,765	5,438		0,649	1,196
	22,6	18,3	0,795	4,962	8,467	13,43		1,932	2,727
	24,1	12,9	0,921	8,939	16,74	25,68		5,040	5,961
	NI	NO
	22,6	22,5	0,371	1,937	1,020	2,956		0,224	0,595
	27,5	26,6	0,457	1,993	1,422	3,414	0,380		0,837
	57,8	51,2	0,861	1,965	6,489	8,454	3,417		4,278
	118,4	57,6	0,989	2,087	29,28	31,36	30,66		31,65

 

 

Где:

 – занятость сервера

 – время обслуживания сервера

 – среднее время нахождения  в системе

 – среднее время нахождения в очереди

 – среднее число заявок в очереди

 – среднее число заявок в системе

 

7. Далее ведем расчет величин по следующим  формулам, приведенным в теоретической части:

Таблица 2. Расчетные значения

	0,4	2	1,33	3,33	0,267	0,667
	0,6	3	4,5	7,5	0,9	1,5
	1	5
	1,6	8
	0,4	2	1,33	3,33	0,267	0,667
	0,5	2	2	4	0,5	1
	1	2
	2	2

Где:

 – занятость сервера

 – время обслуживания сервера

 – среднее время нахождения  в системе

 – среднее время нахождения в очереди

 – среднее число заявок в очереди

 – среднее число заявок в системе

 

Заключение.

При стабильном значении интенсивности обслуживания () и возрастании интенсивности поступления заявок () увеличивается занятость сервера и среднее время нахождения в очереди, время обслуживания сервера остается неизменным.

При стабильном значении интенсивности поступления заявок () и уменьшении интенсивности обслуживания () возрастает занятость сервера и время обслуживания сервера, а также увеличивается среднее время нахождения в очереди.

При возрастании занятости сервера () увеличивается среднее число заявок в системе и в очереди. Система стабильна при выполнении неравенства:

 

 

Вывод: В ходе выполнения лабораторной работы была проведена ознакомительная работа с некоторыми функциями и возможностями системы имитационного моделирования Arena 13.0 для моделирования процесса. Согласно заданию была построена схема, и было произведено сравнение характеристик . В результате следует отметить, что экспериментальные данные совпадают с расчетными данными, за исключением небольшой погрешности.