Системы массового обслуживания

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ  ИНСТИТУТ БИЗНЕСА»

 

ДЕКАНАТ ФАКУЛЬТЕТА ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

Заполняется студентом

Дисциплина

Экономо-математические методы и модели

(наименование согласно графику  учебного процесса)

Вид работы

контрольная  работа

(наименование согласно графику учебного процесса: домашняя контрольная работа, аудиторная контрольная работа, экзаменационная работа, зачетная работа, классная контрольная работа)

Вариант

Дата  выполнения

январь 2013г.

(номер варианта или номера  вопросов и заданий)

(дата выполнения работы)

Группа

100101.65 Сервис      СВ 101 ЗИ

(полное наименование группы)

Фамилия, имя, отчество студента

Гуцев Сергей Викторович

(фамилия, имя, отчество студента)

Заполняется преподавателем

Кафедра

(сокращенное наименование кафедры)

Фамилия, имя, отчество преподавателя

(фамилия, имя, отчество преподавателя)

Дата  проверки

Оценка

Подпись

(дата проверки)

(зачтено, не зачтено,  5 (отл.), 4 (хор.), 3 (удовл.))

(подпись преподавателя на бумажном  носителе)

Обоснование оценки

(обязательно при возврате работы  студенту)

Раздел 3. Модели и методы теории игр

 

1. Игра с нулевой  суммой это:

 

1. Игра, в которой один из игроков полностью проиграл.
2. Игра, в которой оба игрока проиграли.
3. Игра, в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. 
4. Игра, в которой оба игрока в выигрыше.
5. Игра, в которой один частично проиграл, а второй выиграл.

Ответ: в).

 

 

2. Кооперативная игра  это:

 

1. Игра, в которой участвует более двух игроков.
2. Игра, в которой оба игрока проигрывают.
3. Игра с ненулевой суммой, в которой игроки до начала игры договариваются о совместных действиях и координируют свои стратегии.
4. Игра с постоянной разностью, в которой оба игрока или выигрывают, или проигрывают одновременно.
5. Игра, в которой один игрок частично проиграл, а второй выиграл за его счет.

Ответ: в).

 

 

3. Парето - оптимальное  множество, это:

 

1. Множество решений, определяющее величины выигрыша, которые каждый из игроков может получить, не вступая в коалицию со своим партнером.
2. Множество решений, для которых увеличение выигрыша одного из игроков возможно только за счет уменьшения выигрыша его партнера
3. Множество, в котором игрокам нет смысла договариваться относительно совместных решений.
4. Множество точек, на котором игроки договариваются о совместных действиях, о более выгодных условиях.
5. Это замкнутое выпуклое и ограниченное сверху множество решений.

Ответ: б).

 

 

4. Стратегия игрока  называется оптимальной:

 

а) стратегия, при которой  его выигрыш максимальный;

Определение: Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный средний проигрыш).

б) стратегия, при которой проигрыш противника максимальный;

в) стратегия, при которой его  выигрыш не может быть уменьшен, какими бы стратегиями не пользовался  его противник.

Ответ: а).

 

5. Дана платежная матрица  игры  . Оптимальные стратегии первого и второго игроков будут:

а) ;

Выбираем минимум по каждой строке платёжной матрицы. Это будут  значения: 1, 0, 2. Теперь из трёх чисел  выберем максимальное – 2. Этот будет нижняя цена игры.

Выбираем  максимум по каждому столбцу  платёжной матрицы. Это будут  значения: 2,5,4.

Из них определим минимальное  – 2, Это верхняя цена игры. Так  как верхняя и нижняя цена игры равны, то игра имеет решение в чистых стратегиях. Оптимальные стратегии первого и второго игрока  - 2,2.

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Ответ: а) .

 

6. Задана платежная  матрица игры , решение игры равно:

а) 1;           б) 3;               в) 2;                г) 0.

Как говорилось выше, если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры α = β = v называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность — оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии

А)        

.

Б)         

Следовательно:

Ответ: 2.

 

 

 

 

 

7. Задана платежная матрица игры , седловые точки для приведенной матрицы:

а) ;

б) только ; в) только ;

г) , , , ;

Платёжная матрица имеет  4 седловых элемента, равных 2, которые расположены в второй строке в втором столбце, в второй строке в третьем столбце, в третьей строке во втором столбце, во третьей строке в третьем столбце матрицы, соответственно.

Матрица может иметь несколько (более одной) седловых точек.

Если матрица имеет  несколько седловых точек, то все  их значения равны.

Определение: Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij , является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз — в другом).

Для решения  была взята платёжная матрица  из вышестоящего задания 6:

д) только .

Ответ: , , , .

 

Раздел 5. Системы массового обслуживания

 

1. Заявки на телефонные  переговоры поступают с интенсивностью  средняя продолжительность разговора по телефону . Вероятность отказа в переговоре равна:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

 

Дано: λ = 90 (1/ч), t_об = 2 мин.

Определить: P_ОТК  

Решение:

Имеем  одноканальную СМО  с отказами в обслуживании.

Интенсивность потока обслуживаний μ = 1/ t_об = 1/2 = 0,5 (1/мин) = 30 (1/ч). Интенсивность нагрузки. ρ = λ • t_обс = 90 • 2/60 = 3

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала):

 
4. Доля заявок, получивших отказ. 
p₁ = 1 - p₀ = 1 - 0.25 = 0.75.

Значит, 75% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Ответ: .

 

2. В одноканальной СМО очередь  не будет возрастать до бесконечности,  при относительности загрузке  канала:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ; очередь не возрастает до бесконечности при  условии , так как n=1 в одноканальной СМО (n – число каналов), то выбираем этот вариант.
5. .

Ответ: г).

 

 

3. В магазин заходит  в среднем 300 . Один продавец тратит в среднем 50 сек. на одного покупателя. Очередь не будет возрастать до бесконечности при :

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

 

Дано: λ = 300 (1/ч), t_об = 50 сек.

Определить:  

Решение:

Величину  называют параметром загрузки системы. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее обслуживания одной заявки.

Очередь не будет возрастать до бесконечности  при условии  . Поэтому чтобы определить количество продавцов в магазине мы должны решить неравенство .

;

Но  . Следовательно, очередь не будет возрастать до бесконечности при n больше 4,17. Следовательно, n = 5.

Ответ: n = 5.

 

 

4. К двум продавцам  поступает на обслуживание поток  покупателей с интенсивностью 220 . Каждый продавец обслуживает одного покупателя 30 секунд. Средняя длина очереди равна :

1. 7,82;
2. 8,65;
3. 9;
4. 6,7;
5. 9,35.

 

 

Дано: λ = 220(1/ч), t_об = 30 сек.

Определить:

Решение:

Имеем многоканальную СМО с неограниченной очередью.

,

, - интенсивность потока обслуживания

  - число каналов

 – интенсивность нагрузки

Вероятность, что канал свободен вычисляется по формуле:

Вероятность образования очереди  вычисляется по формуле:

Среднее число людей находящихся  в очереди определяют по формуле:

. В двухканальной системе  формула примет вид:

 

 – средняя длина очереди

Ответ: д).

 

 

5. К четырем продавцам  поступает на обслуживание поток  покупателей с интенсивностью 200 . Каждый продавец обслуживает одного покупателя в среднем одну минуту. Вероятность того, что все продавцы будут заняты:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

 

Дано: λ = 200(1/ч), t_об = 1 мин,

Определить:

Решение:

Имеем многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Интенсивность потока обслуживания: 
 
Интенсивность нагрузки. 
ρ = λ * t_обс = 200 чел/час* 1/60час. = 3.33 
Интенсивность нагрузки ρ=3.33 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

, так как  , то очередь безгранично возрастать не будет.

Находим вероятность, что канал  свободен: 

 

Находим вероятности состояний. Вероятность того, что заняты 4 канала будет равна: 
p₄ = ρ⁴/4! p₀ ~ 0,237.

Ответ: ;

 

 

6. К двум продавцам  поступает на обслуживание поток  покупателей с интенсивностью 200 человек в час. Каждый продавец обслуживает одного покупателя в среднем 30 секунд. Средняя длина очереди примерно равна:

а) 2            б) 0             в) 1            г) 4             д) 5

 

Дано: λ = 200(1/ч), t_об = 30 сек.

Определить:

Решение:

Имеем многоканальную СМО с неограниченной очередью.

  ,

, - интенсивность потока обслуживания.

  число каналов

 – интенсивность загрузки

 – среднее число занятых  обслуживанием каналов

Вероятность, что канал свободен вычисляется по формуле:

Вероятность образования очереди  вычисляется по формуле:

Среднее число людей находящихся в очереди определяют по формуле:

.

В двухканальной системе формула  примет вид: