Сызықтық корреляция

І.Жансүгіров атындағы Жетісу мемлекеттік университеті

Қаржы – экономикалық  факультеті

Экономика  кафедрасы

РЕФЕРАТ

Тақырыбы: Сызықтық корреляция

                                                                                         Орындаған: Долаева А.М.

                                                                                                              ЭҚс131 топ

                                                                                        Тексерген: Смагулов Е.Ж.

Талдықорған 2011ж.

КОРРЕЛЯЦИЯ ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР. СЫЗЫҚТЫҚ КОРРЕЛЯЦИЯ

Жоспар: Кіріспе
1. Функционалдық, статистикалық жəне корреляциялық байланыстар

2. Корреляция теориясының негізгі есептері

3. Регрессияның таңдамалық түзу сызық теңдеуінің параметрлерін

    топталған берілгендер бойынша іздеу

4. Корреляцияның таңдамалық коэффиценті

5. Экономикалық көрсеткіштер арасындағы сызықтық байланыстар.

Кіріспе

Қазіргі қоғамның мәдениеті, білімділігі, ой өрісі және ой жүйесі дамыған кезде халық шаруашылығы кәсіпорындарының қандай түрі болса да, оның экономикасы ұтымды басқаруда математикалық әдістер мен компьютерді кеңінен қолдану қажеттігі әркімге белгілі.

              Математиканың экономикада және басқа ғылымдарда кеңінен қолданылуы осы ілімнің өзіне тән ерекшәләгә болып табылады. Экономикалық жүйелердің әртүрлі деңгейлерәнде кездесетін жоспарлау, басқару, шектелген ресурстарды бөлу, өндірістік процестерді талдау, күрделі объектілерді жобалау сиякты есептердің ұтымды және оптимизациялық шешімдерін табу  табиғи және ғылыми техникалық прогресс қажеттіліктерін туған мәселе.

              Экономикада қолданылатын математикалық әдістердің жиынын белгілеу үшін әртүрлі атаулар қолданылды. Эконометрика немесе эконометрия экономикалық заідарының тәжірибелік нәтижелерәне негізделген ғылым. Зерттеушілер берілгенді немесе бақылауларды экономикалық қатынастардың сандық байланысатрын алу үшін пайдаланады.

Коррекциялық регрессиялық талдау экономикалық зерттеулер негізі болып табылады және олар арқылы басты фактордың немесе факторлардың басқа түсіндіруге болатын айнымалалырмен байланысын анықтау үшін пайдалынылады. Алғашқы берілгендер үшін статистикалық бақылаулар қолданылады.

Бұл қарастырылған рефератта, корреляцияның негізігі теориясы мен оның кейбір есептері көрсетіліп тұр.

КОРРЕЛЯЦИЯ ТЕОРИЯСЫНЫҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАР. СЫЗЫҚТЫҚ КОРРЕЛЯЦИЯ

Mатематикалық статистикада – қарастырылатын жалпы жағдайда тікелей функциялық байланыста болмайтын, ықтималдық немесе статисталық тәуелділік.

Екі кездейсоқ шама – x және y бір-бірімен функциялық немесе статистикалық тәуелділікте болуы мүмкін. Функциялық тәуелділікке қарағанда статистикалық тәуелділікте x пен y кездейсоқ шамаларына бірнеше кездейсоқ факторлар (екеуіне де ортақ факторлар болуы мүмкін) әсер етеді. Егер бір шаманың өзгеруінен екінші шаманың орта мәні өзгеретін болса, онда статистикалық тәуелділік корреляциялық тәуелділік деп аталады.

Мысалы, y – астық өнімі, x – пайдаланылған тыңайтқыштың мөлшері болсын. Бірдей мөлшерде тыңайтқыш қолданылғанымен, жердің әрбір бірдей бөлігінен әр түрлі өнім алынады. Мұны әр түрлі кездейсоқ факторлардың (жердің ылғалдылығы, ауаның температурасы, т.б.) әсерінен деп түсіндіруге болады. Тәжірибе орташа астық өнімі қолданылған тыңайтқыш мөлшеріне тікелей байланысты екенін көрсетеді. Яғни астық өнімі (y) мен пайдаланылған тыңайтқыш мөлшерінің (x) арасында корреляциялық тәуелділік болады.

Екі шаманың арасындағы мұндай тәуелділік корреляциялық кесте арқылы беріледі. x-тің әр мәнінде y бірнеше мән қабылдасын. Сонда X=x мәніне сәйкес келетін y мәндерінің арифметикалық ортасы шартты орта шама деп аталады.

Егер X=x әр мәнінде шартты орта тек бір ғана мән қабылдаса, онда У кездейсоқ шамасы X-тен корреляциялық тәуелділікте болады. =f(x) функциясы берілсін. Бұл теңдеу У-тің X бойынша регрессия теңдеуі деп аталады. f(x) У-тің X бойынша регрессия функциясы, ал оның графигі У-тің Х бойынша регрессия теңдеуі деп аталады. f(x) У-тің X-та xy=(y) пен X-тің У-тен корреляциялық тәуелділігі жоғарыда көрсетілген тәсіл бойынша анықталады.

Kорреляция теориясында негізгі екі мәселе қарастырылады. Бірінші мәселе – корреляциялық байланыстың формасын (түрін), яғни регрессия функциясының (сызықтық, квадратты көрсеткішті және т.б.) түрін анықтау. Көп жағдайларда регрессия функциялары сызықты функция түрінде беріледі. Егер f(x) пен (y) сызықты функциялар болса, онда Kорреляция сызықтық Kорреляция деп, ал кері жағдайда сызықтық емес Kорреляция деп аталады.

Сызықтық Kорреляцияда регрессия сызықтарының екеуі де түзу сызық болады. Екінші мәселе – корреляциялық байланыстың тығыздығын (күшін) анықтау – y-тің x-тен корреляциялық тәуелділігінің тығыздығы y мәндерінің шартты орта () айналысындағы шашырауы бойынша бағаланады.

Шашырау көп болса, y-тің x-тен Kорреляция тәуелділігі әлсіз болады немесе тіпті болмайды. Аз шашырау Kорреляция тәуелділігінің күшті, кей жағдайларда олардың арасында функциялық тәуелділік бар екендігін көрсетеді. Бірақ кейінгі жағдайда мұндай байланыс қосымша кездейсоқ факторлардың әсер етуінен жойылады.

1. Функционалдық, статистикалық жəне корреляциялық байланыстар

Екі кездейсоқ шама бір-бірімен функционалдық байланыста немесе

статистикалық байланыста болады, не олар бір-бірімен тəуелсіз болуы мүмкін. Екі кездейсоқ шама бір-бірімен функционалдық байланыста деп айтамыз, егер олардың біреуінің белгілі бір заң бойынша өзгеруі екіншісін де өзгертетін болса, ал олардың арасында басқа түрдегі тəуелділік бар болса, олар статистикалық байланыста деп айтамыз.

Анықтама 1. Шамалардың біреуінің өзгеруі екіншісінің үлестірімін

өзгертетін болса, онда мұндай байланыс статистикалық байланыс деп

аталады.

Анықтама 2. Егер шамалардың біреуінің өзгеруі екіншісінің орташа мəнін өзгертетін болса, онда бұл жағдайдағы статистикалық байланыс корреляциялық байланыс деп аталады.

Мысал 1. У дегеніміз – бидайдың түсімі болсын, ал Х - оған себілетін

көңнің мөлшері. Аудандары бірдей жер бөліктеріне бірдей мөлшерде көң

себілген, ал алынған түсімнің мөлшері əртүрлі, яғни, У Х-ке тəуелді функция

емес. Бұл кездейсоқ факторлар (жауын-шашын, агротехника жəне т.б.) əсерінен деп түсіндіріледі. Жүргізілген тəжірибелер нəтижесінің көрсеткіші бойынша,

орташа түсім себілетін көңнің мөлшеріне тəуелді. У пен Х-тің арасындағы

байланыс корреляциялық байланыс.

1.1 Шартты орташалар

Əрбір Х үшін бірнеше У сəйкес келсін. Мысалы, Х мəні: ал Y мəні: болсын. У шамасының қабылдануы мүмкін

мəндерінің арифметикалық орташасы: шартты орташа.

Анықтама 3. шартты орташа мəні деп Х=x болғандағы Y шамасының

қабылдануы мүмкін мəндерінің арифметикалық орташасын айтамыз.

Анықтама 4. У-тің Х бойынша корреляциялық байланысы деп шартты

орташалардың функционалдық байланысын айтамыз.

шамасының х бойынша:                                                  (1)

(1)   теңдеуі У –тің Х-ке байланысты регрессия теңдеуі деп атаймыз,

функциясын У –тің Х-ке байланысты регрессиясы деп атаймыз, ал оның графигін У –тің Х-ке байланысты регрессия сызығы деп атаймыз.

Х -тің У-ке корреляциялық байланысы дəл осылай анықталады.

2. Корреляция теориясының негізгі есептері

Корреляция теориясының бірінші есебі – корреляциялық байланыстың

формасын анықтау, яғни, регрессия функциясының түрін анықтау (сызықтық, квадраттық, көрсеткіштік жəне т.б.) Өте жиі кезігетіні – сызықтық. Егер екі тəуелділік те, х-тің у-ке байланысты жəне у-тің х-ке байланысты, сызықтық болса, онда корреляция – сызықтық, кері жағдайда, сызықтық емес.

Корреляция теориясының екінші есебі – корреляциялық байланыстың

тығыздығын (күшін) бағалау. У-тің Х бойынша корреляциялық байланысының тығыздығы У мəнінің орташаның маңайында шама бойынша сейілуімен бағаланады. Үлкен сейілу У-тің Х бойынша байланысы əлсіз немесе мүлдем жоқ дегенді білдіреді. Ал аз сейілу күшті байланысты көрсетеді, ол мүмкін функционалдық байланыс та болуы мүмкін. Х -тің У-ке байланысы дəл осылай анықталады.

2.1 Регрессияның таңдамалық түзу сызық теңдеуінің параметрлерін

топталмаған берілгендер бойынша іздеу

У пен Х-тің арасындағы корреляциялық байланыс сызықтық болсын,

онда регрессияның сызығының теңдеуі түзу болады.

Бұл түзулердің теңдеулерін іздеу үшін n тəуелсіз сынақ жүргізілген

жəне нəтижесінде n сандар жұбы алынған:

                                (2)                                

Оны бас жинақтан алынған кездейсоқ таңдама ретінде қарастырамыз. Онда осы берілгендер бойынша табылған шамалар мен теңдеулер таңдамалық деп аталады. Қарапайым жағдайда, егер х мəніне 1у сəйкес келетін болса, онда ізделінді теңдеуін Y=kx+b түрінде жазуға болады, мұндағы k − регрессия түзу сызығының бұрыштық коэффиценті жəне ол былай белгіленеді: ал регрессия теңдеуі мынадай:

                (3)       

ρyx жəне b параметрлерін, (1) теңдеуі XOY жазықтығында (2) теңдеуіне

бар мүмкіндігінше жақындайтындай етіп таңдап аламыз. айырмасын ауытқу деп атаймыз, мұндағы Yi  шамасы (2) теңдеуі бойынша есептелінеді. yi - (1)-дегі сындық нүкте. ρyx жəне b параметрлерін ауытқулар квадраттарының қосындысы минимал болатындай етіп таңдап аламыз ( яғни, ең кіші квадраттар əдісі).

Минимумын табу үшін жүйе құрамыз:

жəне бұл жерден ρ жəне b -ға тəуелді екі теңдеуден тұратын сызықтық

теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұны шешсек, онда:

жəне нəтижесінде ізделінді y = ρx + b теңдеуін аламыз.

Мысал 1. У –тің Х –ке байланысты таңдамалық түзу сызықты

регрессиялық теңдеуін n = 5 берілген бақылауы бойынша анықтаy.

Шешуі: есептеу кестесін құрамыз:

Белгілі формула бойынша:

Ізделінді регрессия теңдеуі:

Y = 0,202x +1,024 .

Бұл теңдеу бойынша Yi -дің мəндері yi сындық мəндерімен

қаншалықты сəйкес екенін көру үшін, Yi − yi ауытқуын табамыз.

Кестеден байқағанымыздай, барлық ауытқулар кіші шама емес. Бұл бақылау саны аз деп түсіндіріледі.

2.2 Корреляциялық кесте

Бақылаудың үлкен санында х –тің бір ғана мəні nx рет кезігуі мүмкін,

ал у-тің бір ғана мəні ny рет кезігуі мүмкін, онда (х,у) сандар жұбының бір

ғана мəні nxy рет кезігеді. Сондықтан, бақылаудың берілгендері топталады,

яғни, nx, ny, nxy жиіліктері саналады. Барлық топталған берілгендер

корреляциялық деп аталатын кесте түрінде жазылады.

Мысал 2.

3. Регрессияның таңдамалық түзу сызық теңдеуінің параметрлерін

топталған берілгендер бойынша іздеу

У –тің Х –ке байланысты түзу сызықты регрессиялық теңдеуінің параметрлерін анықтау үшін мынадай теңдеулер жүйесі алынған:

                                  (4)

Х мəні мен оған сəйкес У –тің мəні бір рет бақыланды деп алынған. Берілгендер саны үлкен ( ≈ 50 бақылау) болсын, олардың арасында қайталанатындары да бар жəне олар корреляциялық кесте түрінде топталған. (4) жүйесін корреляциялық кестенің берілгендерін көрсететіндей етіп жазамыз.

4. Корреляцияның таңдамалық коэффиценті

Бірақ та, жаңа шама – корреляция коэффицентін енгізу арқылы регрессия теңдеуін басқа түрде жазу ыңғайлы. шамасын регрессия теңдеуіне қойсақ:

4.1 Корреляцияның таңдамалық коэффицентінің қасиеті

Анықтама бойынша

Бұл шаманы енгізу мақсатымыз – сызықты корреляциялық байланыстың

тығыздығын бағалау. Бұл сұраққа жауап оның қасиетінен шығады.

мұндағы Sy - шартты орташа -ке сəйкес у-тің маңайындағы сындық мəндердің дисперсиясы. Dy - жалпы орташасының маңайындағы бақылаулар дисперсиясы. Sx пен Dx дəл осылай анықталады.

2. егер rB =0 болса жəне регресияның таңдамалық сызықтары – түзу

болса, онда Х пен У сызықты корреляция байланысымен байланысты емес.

Дəлелдеуі: егер rB =0 болса, онда: