Виды экономико-математических моделей

Экономико-математическая модель

Экономико-математическая модель — математическое описание экономического процесса или объекта, произведенное в целях их исследования и управления ими: математическая запись решаемой экономической задачи (поэтому часто термины “модель” и “задача” употребляются как синонимы). Существует еще несколько вариантов определения этого термина.

В самой общей форме  модель — условный образ объекта  исследования, сконструированный для  упрощения этого исследования. При  построении модели предполагается, что  ее непосредственное изучение дает новые  знания о моделируемом объекте. Все  это полностью относится и  к Экономико-математическая модель.

В принципе в экономике  применимы не только математические, но и материальные модели, напр., гидравлические (в которых потоки воды имитируют  потоки денег и товаров, а резервуары отождествляются с такими экономическими категориями, как объем промышленного  производства, личное потребление и  др.) и электрические (в США была известна модель “Эконорама”, представлявшая собой сложную электрическую схему, в которой имитировались экономические процессы). Но все эти попытки имели лишь демонстрационное применение, а не служили средством изучения закономерностей экономики. С развитием же электронно-вычислительной техники потребность в них, по-видимому, и вовсе отпала.

Экономическая модель. оказывается в этих условиях основным средством модельного исследования экономики. Модель может описывать либо внутреннюю структуру объекта, либо (если структура неизвестна) его поведение, т. е. реакцию на воздействие известных факторов (принцип “черного ящика”). Один и тот же объект может быть описан различными моделями в зависимости от исследовательской или практической потребности, возможностей математического аппарата и т. п. Поэтому всегда необходима оценка модели и области, в которой выводы из ее изучения могут быть достоверны.

Во всех случаях необходимо, чтобы модель содержала достаточно детальное описание объекта, позволяющее, в частности, осуществлять измерение экономических величин и их взаимосвязей, чтобы были выделены факторы, воздействующие на исследуемые показатели, напр. формула, по которой определяется на заводе потребность в материалах, исходя из норм расхода, есть Экономико-математическая модель.

Если количество видов  изделий обозначить через n, нормативы расхода — a_i, количество изделий каждого вида — x_i, то модель запишется так:

Кроме того, полезно записать условия, в которых она действительна, т. е. ограничения модели (напр., лимиты на те или иные материалы). Строго говоря, расчет по такой формуле не даст точного результата: потребность в материалах может зависеть также от случайных изменений в размерах брака и отходов, от страховых запасов и т. д. Но в общем она зависит именно от указанных двух видов величин: норм расхода материала и объемов выпуска продукции. Первые из них в данном случае называются параметрами модели, вторые — переменными модели.

Такая модель называется описательной, или дескриптивной; она  описывает зависимость расхода (потребности  в материале) от двух факторов —  количества изделий и расходных  норм. Большое значение в экономике  имеют оптимизационные модели (или оптимальные). Они представляют собой системы уравнений, равенств и неравенств, которые кроме ограничений (условий) включают также особого рода уравнение, называемое функционалом, или критерием оптимальности. С помощью такого критерия находят решение, наилучшее по какому-либо показателю, напр. минимум затрат на материалы при заданном объеме продукции или, наоборот, максимум продукции (или прибыли) при заданных ограничениях по ресурсам и т. д.

Напр., можно попытаться найти такой план работы цеха, который  при заданном объеме материалов (т. е. их расход не должен быть больше какой-то величины, допустим, B) гарантирует наибольший объем продукции. Единственное, что надо при этом знать дополнительно — цену единицы продукции pi. Тогда модель будет записываться так:

при условии

Кроме того, обязательно  надо учесть, что искомые величины объемов производства каждого изделия  не должны быть отрицательными:

x_i ≥ 0, i = 1, 2, ..., n.

Мы получили элементарную оптимизационную модель, относящуюся  к типу моделей линейного программирования. Решив эту модель, т. е. узнав значения всех x_i, от 1-го до n-го, мы получим искомый план.

Важное свойство Экономико-математическая модель — их применимость к разным, на первый взгляд непохожим ситуациям. Например, если в приведенном примере через a_i обозначить нормы внесения удобрений, а через x_i — размеры участков, то та же самая формула покажет общий объем потребности в удобрениях. Точно такую же формулу можно применить к расчету затрат семьи на покупку разных продуктов и во многих других случаях.

Модель может быть сформулирована тремя способами: в  результате прямого наблюдения и изучения некоторых явлений действительности (феноменологический способ), вычленения из более общей модели (дедуктивный способ), обобщения более частных моделей (индуктивный способ).

Подобные модели, в  которых описывается моментное состояние экономики, называются статическими, те же, которые показывают развитие объекта моделирования, — динамическими. Модели могут строиться не только в виде формул, как рассмотренные здесь (это называется аналитическим представлением модели), но и в виде числовых примеров (численное представление), в форме таблиц (матричное представление) и в форме особого рода графов (сетевое представление модели). Соответственно различают модели числовые, аналитические, матричные, сетевые.

Экономическая наука  давно пользуется моделями. Одной из первых была модель воспроизводства, разработанная французским ученым Ф. Кенэ еще в XVIII в. А в XX в. первая общая модель развивающейся экономики была сконструирована Дж. фон Нейманом. Значительный опыт построения Экономико-математическая модель накоплен отечественными учеными, применявшими их для анализа экономических процессов, прогнозирования и планирования во всех звеньях и на всех уровнях экономики, вплоть до планирования развития народного хозяйства страны в целом, особенно перспективного.

Принято подразделять Экономико-математическая модель на две большие группы:

модели, отражающие преимущественно  производственный аспект экономики;

модели, отражающие преимущественно  социальные аспекты экономики.

Разумеется, такое деление  в значительной степени условно, поскольку в каждой из моделей  в той или иной степени сочетаются производственный и социальный аспекты.

Из моделей первой группы можно назвать модели долгосрочного  прогноза сводных показателей экономического развития, межотраслевые модели, отраслевые модели оптимального планирования и  размещения производства, а также  модели оптимизации структуры производства в отраслях.

Из моделей второй группы наиболее разработаны модели, связанные с прогнозированием и  планированием доходов и потребления  населения, демографических процессов.

Существует большое  число классификаций типов Экономико-математическая модель , которые, однако, носят фрагментарный характер. И это, по-видимому, неизбежно, т. к. нереально охватить все многообразие социально-экономических задач, объектов и процессов, описываемых различными моделями.

Описанные в нашем  словаре модели можно условно  представить в виде элементов  следующей классификационной схемы.

Я вам расскажу о динамической модели.

Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый шаг соответствует поведению экономической системы у определенный временный период. Каждый поточный шаг получает результаты предыдущего шага, за определенными правилами определяет текущий результат и формирует данные для следующего шага. 
Таким образом, динамическая модель в ускоренном режиме позволяет исследовать развития сложной экономической системы, скажем, предприятия, на протяжении определенного периода планирования в условиях изменения ресурсного обеспечения (сырья, кадров, финансов, техники), и получение результаты представить у соответствующему плане развития предприятия на заданный период. 
Для решения динамических задач оптимизации в математическом программирование сформировался соответствующий класс моделей под названием динамическое программирование, его основателем стал известный американский математик Р. Беллман. Ним  предложено специальный метод решения задача этого класса на основе «принципа оптимальности», согласно с которым оптимальное решение задачи находится путем ее разбития на n этапов, каждый с которых представляет подзадачу относительно одной переменной. Вычисление исполняется таким образом, что оптимальный результат одной подзадачи есть начальными данными для следующей подзадачи из учетом уравнений и ограничений связи между ними, результатом последней из них есть результат всей задачи.    
Ниже рассмотрены некоторые практические задачи динамических моделей:

 Рынок благ. Динамические модели  экзогенного экономического

роста

 

Модель Солоу

Модель Солоу явилась первым историческим примером модели рынка благ с эффектом экономического роста, обусловленного технологическим прогрессом. В отличие от более поздних моделей она трактует технологический прогресс и сбережения как экзогенные факторы. К числу основных переменных модели Солоу относятся:

Y - агрегированный выпуск;

K - объем капитала;

L - объем труда;

A - фактор эффективности труда, обусловленный технологическим прогрессом (накоплением знаний).

Производственная функция в модели Солоу имеет следующий вид:

 

Y (t) = F(K(t),A(t)L(t)),

 

где t - непрерывное время.

Основные предположения о производственной функции:

 

1) Постоянная отдача от масштаба:

 

F(cK, cAL) = cF (K,AL), c>0.

 

2) нет факторов естественных  ресурсов (земля, полезные ископаемые)

Производственная функция может быть записана в интенсивной форме :

 

c = 1/(AL), F(K/AL, 1) =1/AL*F(K,AL).

 

Пусть k = K/(AL), y = Y/(AL). Тогда 

 

                            f(k) = F(k, 1),

 

где f(0) = 0, f ^′(k) > 0, f ^″(k) < 0.

 

 

Обычно предполагается выполнение условий Инада (1964):

Рис 1. Производственная функция (интенсивная форма)

 

 

Пример 2. Функция Кобба-Дугласа

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

 

F(K,AL) = K^α(AL)^1−α, 0 < α < 1.

 

Несложно проверить, что она  обладает свойством постоянной отдачи от

масштаба. Ее интенсивная форма

 

f(k) = k^α, f ^‘= αkα−1 > 0, f ^″(k) = −α(1 − α)k^α−2 < 0

 

удовлетворяет всем предположениям, сформулированным выше.

Эволюция экзогенных переменных в модели описывается уравнениями

 

Ĺ(t) = n L(t), Ẩ(t) = g A(t), n>0, g > 0.

 

Динамика капитала формируется  под воздействием совокупных сбережений за

вычетом амортизации:

 

Ƙ(t) = sY (t) − δK(t),

 

где 0 < s < 1 - норма сбережений; δ > 0 - норма амортизации.

В рассматриваемых далее моделях рынка благ оказывается удобным

исследовать динамику приведенных переменных:

 

k(t) =K(t)/A(t)L(t), c(t) =C(t)/A(t)L(t),

 

т.е. приведенного капитала и потребления.

В модели Солоу для приведенного капитала имеем:

 

˙k(t) = Ƙ(t)/A(t)L(t)− K(t)/[A(t)L(t)]² * [A(t) Ĺ (t) + Ẩ (t)L(t)]

= sf(k(t)) − (n + g + δ)k(t).

Равновесная точка k^∗ определяется из условия sf(k^∗) = (n + g + δ)k^∗. В силу условий, наложенных на функцию f(k), точка k^∗ существует и единственна. Привлекательной стороной модели Солоу является глобальная и локальная устойчивость этого положения равновесия: из какой бы начальной точки k₀ мы бы ни стартовали, приведенный капитал сходится к точке k^∗.

 

Рис 2. Модель Солоу

Отметим, что норма накопления s является экзогенной величиной в модели Солоу. Оптимальный выбор s преследует цель максимизации приведенного потребления c = f(k^∗) − sf(k^∗) в равновесной точке и соответствует "золотому правилу накопления": f(k^∗) = n + g + δ.