Ықтималдық теориясы мен математикалық статистика түсініктері

Ықтималдық теориясы мен математикалық статистика түсініктері

   Ықтималдық - математикада анықталған шарттарда саны шексіз рет қайталана алатын қандай да болмасын белгілі бір оқиғаның пайда болуының мүмкіндік дәрежесінің сандық сипаттамасы оқиғалардың тең мүмкіндігіне (тең ықтималдығына) сүйенеді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады, олар логикалық (формалды) анықтама беруді қажет етпейді. Бірнеше оқиғалар тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын (жүйесін) құраса, онда ол оқиғаларды сынаудың мүмкін (мүмкін болатын) нәтижелерінің орнына тең мүмкіндікті барлық жағдайлар немесе жалпы жағдайлар саны (не жағдайлар) деп атайды. Ал тең мүмкіндікті үйлесімсіз және оқиғалардың (жағдайлардың) біреуінен бір А оқиғасының пайда болуы мүмкін, яғни басқаша айтқанда, А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға бөлінеді және олардың кез келген біреуінің пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығады. Мысалы, кубты бір рет лақтырғанда оның кез келген тақ нөмірі А1, А3, А5, пайда болуынан А оқиғасының пайда болуын байқаймыз. Былайша айтқанда, А оқиғасы тақ нөмірлі А1, А3, А5 үш оқиғаға (жағдайға) бөлініп отыр. Бұл тақ нөмірлі оқиғалар саны (ол 3-ке тең) осы А оқиғасына қолайлы жағдайлар болып табылады. Сонымен, сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндерді осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдай деп атайды. А оқиғасына қолайлы жағдайлар санының (м) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санына (н) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және ол былай жазылады: . Ықтималдықтың бұл анықтамасын классик. анықтама деп атайды. Оны алғаш рет П.С. Лаплас берген. Ықтималдықтың бұдан басқа үлкен сандар заңына сүйенген анықтамасы да бар.

     Ықтималдық теориясы дегеніміз- жаппай  кездейсоқ құбылыстардың математикалық моделі. Ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдарын дүниеге келтірілген есептер сақтандыру істерін дамытуға байланысты пайда болған. Лоторея ойындары мен сақтандыру компанияларының өмірге келуі ықтималдық теориясының дамуына ықпал жасады. Күнделікті тұрмысымызда көптеген құбылыстар мен олардың өзгерістері кездеседі, солар оқиғаның тууына себепші болады. Мысалы, металл теңгені жоғары қарай лақтырсақ, ол жоғары көтеріліп барып, жерге түседі. Осы жасаған әрекетіміз сынақ немесе тәжірибе деп аталады. Жердегі металл теңгенің «елтаңба» немесе «цифр» жағының жоғары жатуы- оқиға болады. Сақамен тізілген асықтарды атқанымыз- сынақ болады. Сақаның тізілген асықтарға тиюі немесе мүлт кетуі оқиға болады. Бұл мысалдан оқиға сынақтың нәтижесі екенін, ал оқиға туғызу үшін сынақ жүргізу керек екенін аңғарамыз. Оқиғаларды латын алфавиті бас әріптерін пайдаланып белгілейміз: А,В,С,... .Егер А оқиғасы әр сынақта сөзсіз пайда болса, онда ол ақиқат оқиға деп аталады. Сынақ кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес деп аталады. Сынақ кезінде пайда болуы да, пайда болмауы да мүмкін оқиға кездейсоқ оқиға деп аталады.

Адам өмірінің практикалық қажеттілігі ықтималдық негізі бар жағдайларда шешім қабылдау мен кездейсоқ факторлардың әсер етуіне талдау жасаумен байланысты. Өмір кездейсоқтыққа толы. Кез келген кездейсоқтыққа дайын болу үшін кез келген адамда мәліметтерді талдаудың негізгі әдістері, ықтималдық заңдылықтары және олардың ғылым мен техникадағы, сол сияқты өнеркәсіп құрудағы рөлі туралы түсінік болуы қажет. Қазіргі нарықтық экономика жағдайында әрбір адам жас кезінен статистика мәліметтерін меңгергені дұрыс.

Күнделікті өмірде қандай да бір оқиғаны бағалау нәтижесінде, дәл, нақты мағынасына мән берместен, «ықтималдық» ұғымын қолданып жүрміз. Мысалы, «50 пайыз ықтималдыпен», « ықтималдыпен» немесе «100-дің 50 жағдайы», «50-де 50», «екіден бір мүмкіндік» деген сөз тіркестерін толық түсініп, жайбарақат қабылдаймыз. Тиынды лақтырмай-ақ, елтаңба жағы мен цифрдың түссу мүмкіндігі бірдей, ал оқиға нәтижесі  санына тең екеніне келісеміз. Мысалы, егер тиынды лақтыра отырып, әрбір лақтырудан кейін, айталық 800 рет лақтарылғаннан кейінгі нәтижені тіркеген кезде, елтаңба жағы 402 рет түскен болса, онда түсудің салыстырмалы жиілігін аламыз. Әрине, ол дәл емес, бірақ оған өте жақын. Егер әрі қарай лақтыру (сынақ) санын көбейтсек, онда 402 санына жақынырақ санды алуға болар еді. Мұндай санның ықтимал болуы мүмкін.

Сонымен, ықтималдық дегеніміз ─ белгілі бір анықталған жағдайда қандай да бір кездейсоқ оқиғаның пайда болу дәрежесінің сандық сипаттамасы.

Күнделікті өмірде бұл ұғымды жиі қолданамыз. Мысалы, бүгін мүмкін, кешігермін; ол мүмкін, бос емес шығар; жиналыстың болмауы мүмкін секілді.

Ықтималдық теориясы дегеніміз ─ кездейсоқ жағдайлардың пайда болу заңдылығын зерттейтін математикалық бөлігі.

Оқиғаның ықтималдығы дегеніміз ─ оқиғаның пайда болу мүмкіндігін  білдіретін сан.

Кездейсоқ оқиғаның бір жолғы тәжірибеде пайда болатынын, не пайда болмайтынын алдын ала білуге мүкін болмағанымен, қайта-қайта жасалған тәжірибелер барысында, оның пайда болуының белгілі бір заңдылығы байқалады.

Белгілі жағдайда  қайта-қайта  n рет тәжірибе жасағанда А оқиғасы m рет пайда болса, онда қатынасы А оқиғасы пайда болуының салыстырмалы жиілігі деп аталады. Жоғарыдағы 5 бидай дәнін 5 тәжірибе, яғни m=4 деп ұғамыз. Сонда оқиғаның пайда болу жиілігі   немесе 80% болады.

Сол тұрақты  саны А оқиғасының ықтималдығы деп аталады да Р(А) деп белгіленеді.

А және В оқиғаларының қосындысы деп А немесе В оқиғаларының кем дегенде біреуінің орындалатынын білдіретін  оқиғаны айтады және оны А+В арқылы белгілейді.

Осыдан А+В-ның құрамына А-ға не В-ға тиісті элементтар оқиғалар енеді. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда «жұп ұпай түсуі» мен «үштен кем ұпай түсуін» білдіретін оқиғаларды қосу қажет болсын. Онда және В={А1,А2} оқиғаларын қосамыз: А+В={ А2, А4, А6}.

А және В оқиғаларының көбейтіндісі деп А және В оқиғаларының қатар орындалуын білдіретін оқиғаны айтады және оны А*В арқылы белгілейді.  Сонымен, А*В-ның құрамына А-ға және В-ға да тиісті элементар оқиғалар енеді. Мысалы, және В={А1,А2} оқиғалары үшін А*В={ А2} болады.

А және В оқиғаларының айырмасы деп тек А  ғана орындалып, В-ның орындалмайтынын  білдіретін оқиғаны айтады және оны А-В арқылы белгілейді. Осыдан А-В  құрамына тек А-ға ғана енетін және В-ға тиісті емес элементар оқиғалар енеді. Мысалы,  және  В={А1,А2} оқиғалары үшін А-В={ А2, А4, А6} теңдіктері орындалады.

Егер А1, А2,...Ап элементар оқиғалары үшін А1+А2+...+Ап=U және  Ai*Aj =Ø (i≠j) шарттары орындалса, онда бұл оқиғаларды элементар оқиғалардың толық тобы (группасы) деп аталады. Мысалы, ойын сүйегін тастағанда А1,А2, А3, А4, А5, А6  элементар оқиғалары толық топ құрайды. Шынында да, ойын сүйегін тастағанда алты ұпайдың бірі түсері ақиқат, яғни А1+А2+ А3+ А4+ А5+ А6=U қосындысы- ақиқат оқиға. Сонымен қатар, бір тастағанда екі түрлі ұпай түсуі мүмкін емес, яғни Ai*Aj =Ø (i≠j)- жалған оқиға.

Егер В оқиғасы орындалған сайын А оқиғасы да орындалып отырса, онда А-ны В оқиғасының салдары деп атайды және оны былай белгілейді: ВА. Мысалы, және С={ А2, А4} болса, онда А оқиғасы- С-ның салдары. Өзара кері А және оқиғалары үшін Ø және U теңдіктері орындалады. Кездейсоқ оқиғаларды жиындарға қолданылады:

1 ─ Сурет Эйлер-Венн диаграммаларымен бейнелеген қолайлы.

Сонымен бірге, әрбір А және В оқиғалары үшін:

1) ;

2) теңдіктері орындалады.             

Дәлелдеу. 1)  Айталық, болсын.

Онда. Осыдан және оқиғалары бірдей элементар оқиғалардан құралғанын көреміз, яғни .

2) Осы сияқты дәлелденеді:

1-мысалы: Үш атқыштың біріншісінің нысанаға тигізуін А оқиғасы, екіншісінің тигізуін В оқиғасы және үшіншісінің тигізуін С оқиғасы деп алып: 1)А+В; 2)АВС; 3)АВ+АС+ВС өрнектерімен анықталатын оқиғалардың мағынасын ашып көрсетейік.

Шешуі:1) Нысанаға бірінші немесе екінші атқыш тигізді; 2) Нысанға бірінші және екінші атқыштар тигізіп, үшінші мүлт кетті; 3) Кем дегенде екі атқыш нысанаға тигізді.

2-мысал: Алдыңғы мысал шартында нысанаға: 1) тек бірінші атқыш тигізді; 2) тек екі атқыш қана тигізді; 3) атқыштардың ешқайсысы тигізе алмады деген оқиғаларды А,В және С арқылы өрнектеу керек.

Шешуі: 1) Нысанаға тек бірінші атқыш тигізіп, қалған екеуі мүлт кеткен. Онда А, В және С оқиғалары орындалды. Сондықтан оқиғаларды көбейту ережесі бойынша бұл оқиға   арқылы өрнектеледі.

2) Бұл жағдайда нысанға 2 атқыш тигізіп, үшінші міндетті түрде тигізбеуі қажет, яғни немесе немесе оқиғаларының біреуі орындалуы керек. Сондықтан бізге қажет оқиға қосындысымен өрнектеледі.

3) Атқыштардың біреуі де нысанаға тигізе алмаса, онда оқиғалары қатар орындалады, яғни оқиғасы орындалады.

Іс жүзінде адамға заттардың өзара орналасуының барлық мүмкін жағдайларын есептеуге немесе қандай да бір іс-әрекеттің барлық мүмкін нәтижелерін және оны орындауға қажетті барлық мүмкін тәсілдер санын есептеуге тура келеді. Мысалы, әр түрлі 5 кітапты екі оқушыға неше түрлі тәсілмен үлестіріп беруге болады? Сондықтан мұндай есептерді комбинаторикалық есептер деп атайды. Ал комбинаторикалық есептерді шешуді үйрететін математика саласын комбинаторика деп атайды. Комбинаторика есептерін шешуде қолданатын өзіндік заңдылықтар мен формулалар бар.

Комбинаторикалық формулаларды қолдану кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтарын есептеуді біршама жеңілдетеді. Мысалдар қарастырайық.

1-мысал: 9 қабатты мекеменің 5-қабатынан лифтке 3 қызметкер мініп, жоғары  көтерілді. Бұлардың әрқайсысы лифттен әртүрлі қабаттарда шығуы ықтималдылығы қандай?

Шешуі: Мұнда -ке  тең, себебі жолаушылардың түсуі мүмкін 4 қабатты (4 элементтен тұратын жиынды) үш адамға тағайындап беру қажет (яғни 4-тен 3 бойынша қайталанбалы орналастырулар). Ал -ке тең, себебі 4 элементті (қабатты) 3 орынға (қызметкерлерге) қайталанбайтындай етіп орналастыру қажет. Сонымен,

2-мысал: Бес карточкаға бір-бірден а,й,қ,с,ы әріптері жазылып, келесі бетімен аударылып, мұқият араластырылды. Кездейсоқ бір-бір карточкадан алып, бір қатарға тізіп шыққанда «қайыс» сөзінің шығуы ықтималдығы қандай?

Шешуі: Барлық мүмкін нәтижелер саны 5 элементтен тұратын жиынның алмастырулары санына тең:

Ал бізге қолайлы нәтижелер саны біреу ғана m=1. Сонда

3-мысалы: Сынаптарға ағылшын тілін оқитын бір топта 12 оқушы бар. Олардың туған күндері әр түрлі айларға түсуі ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Барлық мүмкін жағдайлар саны 12-ден 12 бойынша алынған қайталанбалы орналастырулар санына тең; . Ал қолайлы жағдайлар саны 12 элементтен алынған барлық орналастырулар санына тең:

4-мысал: Қорапта қолғаптардың 10 түрлі парлары бар. Қораптан кездейсоқ 4 қолғап алынды. Алынған қолғаптар арасында өзара пар құрайтын қолғаптардың болмауы ықтималдығы қандай?

Шешуі: 20 қолғаптың ішінен төртеуін түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал бізге қолайлы жағдайлар саны -ке тең. Себебі қолғаптардың 10 парынан 4 сыңарын түрлі тәсілмен аламыз, ал әр пардан бір сыңарын 2 түрлі тәсілмен ала аламыз, яғни 4 сыңарды 2*2*2*2=24 түрлі тәсілмен аламыз. Сонымен

5-мысал: Конверттегі 100 фотосуреттің ішінен бізге қажеттісі біреу ғана. Конверттен кездейсоқ 10 фотосурет алынды. Алынған суретер ішінде бізге қажетті суреттің бар болу ықтималдығын анықтайық.

Шешуі: 100 суреттің ішінен 10 суретті түрлі тәсілмен алуға болады, яғни . Ал егер алынған 10100 суреттің ішінде бізге қажеттісі бар болса, онда бұлардың қалған 9-ы бізге қажетсіз. Онда осы қажетсіз 9 суретті 99 қажетсіз суреттер арасынан . Онда

Қорыта айтқанда: Әлемдегі кездейсоқ құбылыстар ерте заманнан бері зерттеліп келеді. Ол туралы Реньидің де жақсы пікірлері бар. Кездейсоқ құбылыстарға математикалық тұрғыдан қарау Паскаль мен Фермаға дейін болған. Демографиялық құбылыстар және адамдарды азық-түлікпен қамтамасыз жиілігінің біркелкілік фактілері Ежелгі Қытай мен Римде белгілі болған. Кездейсоқ құбылыстарды нақты әдістердің көмегімен анықтау мүмкіндігін Кордано мен Галилей де қарастырған.

Паскаль, Ферма және Гюйгенстен басап, кездейсоқ оқиға және оның ықтималдығы туралы математикалық ғылым- ықтималдық теориясының алғашқы ұғымдары қалыптаса бастады.

ХХ ғасырдың екінші жартысынан бастап құбылыстардың сандық өлшемдері әр түрлі процестердің, атап айтсақ, өндірісті математикалық модельдеу мен ғылыми шығармашылықтың алғашқы шарты болды, яғни ықтималдық ерекше маңызға ие болды. «Оқиға туралы ғылым» көптеген мамандық иелерінің: инженерлер, экономистер, дәрігерлер және әр түрлі шаруашылық саласындағы мамндардың ортасына енді. Бүкіл әлемде осы ғылымға қызығушылықтың артқаны соншалық, тіпті ықтималдық теориясы жиі қолданылатын болды деп айтсақ қателеспейміз.

Ықтималдық теориясының негізгі мағынасын ашып ықтималдықтың жиілік теориясының негізін салған белгілі неміс математигі- Р.Мизес (1883-1953).

Ол ықтималдық теориясын математика пәні емес, математикалық әдістерде кең қолданылатын ғылым қатарына қосты. Р.Мизес «Әр ықтималдыққа берілген есеп кейбір шынайы процестермен байланысқан»,- деп айтқан. Қазіргі ықтималдық теориясының дамуы, әсіресе А.Н.Колмогоровтың еңбегінде, ықтималдық теория жоғары математикалық тарауларымен: жиын теориясы, функция теориясы, функционалдық талдау және т.б. нақты математикалық ықтималдықпен тығыз байланысқан.

Қазіргі ықтималдық теориясының әдістері қолданылмайтын сала жоқ. Ықтималдық статистика әдістерін қолдану көптеген ғылым салаларында дәстүрлі бағыт болуда. Оларға: физика, геодезия, өлшеу теориясы және т.с.с. жаады. Кейінгі кезде ықтималдық теориясын мединицина және биология, әскери ғылым мен космонавтика, лингвистика, психология теориясы мен оқыту теориясы, т.б. ғылымда да қолдана бастады. Одан басқа ықтималдық әдістерінің негізінде ықтималдық теориясынан шыққан жаңа ғылымдар қатары пайда болуда. Бұлар- ақпарат теориясы, сенімділік теориясы, сапаны статистикалық бақылау, тәжірибені жоспарлау.

Математикалық статистика — математиканың бір саласы, бақылау немесе өлшеу арқылы анықталып, сандар түрінде тізілген деректерді жүйеге келтіру, өңдеу және солар бойынша тиісті ғылыми және практикалық қорытындылар шығару жайындағы ғылым.

Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық деректер деп аталады.

М. с. статистик. деректер жиынындағы әрбір элементтің жеке қасиеттерін сипаттамайды, олар бір топқа жататын бірнеше элементті бірге қамтиды. Әдетте статистик. деректер жолдар мен бағаналар-ға бөлініп, реттеліп жазылады, олардың негізінде жүргізілетін ғыл.-зерт. әдісі статистик. әдіс деп аталады. Ол ғылым салаларының барлығында қолданылады, бірақ табиғаты әр түрлі нысандардың статистик. мәліметтерін бірге қарастыруға болмайды. Соның нәтижесінде әлеум.-экон. статистика, статистик. физика, жұлдыздар астрономиясы, т.б. дербес ғылым салалары қалыптасқан. М. с-ның әдістері аса маңызды параметрлері белгісіз немесе оларды жеткілікті дәлдікпен бақылауға болмайтын көптеген есептерде шешім табудың тиімді жолдарын табуға мүмкіндік береді. М. с-да матем. заңдардың бәрі де қолданылады.

Статистик. деректерге негіз болатын бақылаулар мен өлшеулерде кездейсоқ қателер болмай қоймайды. Бұл қателер ықтималдықтар теориясы бойынша айқындалады (қ. Қателер теориясы). Кейде қолда бар деректер бойынша зерттелетін заңдылықтың жорымал матем. моделі жасалады. Әрине жорымал болғандықтан, ол модель шын заңдылықтан алшақтау болады. Алшақтық, яғни модельдің шындықтан ауытқуы ықтималдықтар теориясы арқылы зерттеліп, анықталады. Белгілі бір деректің модельде қайталану жиілігі жуық түрде ықтималдық есебіне, қайталанудың орташа шамасы матем. үміт есебіне келтіріледі. Матем. үміттің бағаламасы — бір белгінің үйлестіру сипаттамасы ретінде орта шама, дисперсияның бағаламасы ретінде қосындысы алынады. М. с. көптеген дербес тарауларға бөлініп, онда сан алуан әдістер қолданылады: таңдап алу, параметрлерді бағалау, статистик. болжамды тексеру, жүйелі талдау, өнімнің сапасын тексеру әдістері, т.б. М. с. қазіргі уақытта экон. және ххсоциологиялық зерттеу|социол. зерттеулерде]], а. ш-нда, биология, медицина, физика, геология, психология ғылымдарында, ауа райын бақылауда және т.б. салаларда зерттеу жүргізу үшін қолданылады. М. с-ның алғашқы ұғымдары ықтималдықтар теориясының негізін салған математиктер (Я.Бернулли, П.Лаплас, С.Пуассон) шығармаларында кездеседі. М. с-мен алғаш шұғылданған Ресей ғалымы Б.Я. Буняковский М. с-ны демография мен қауіпсіздендіру мәселелеріне қолданды. М. с-ның өркендеуіне 19 ғ-дың 2-жартысы мен 20 ғ-дың басында ықтималдықтар теориясының классик. орыс мектебі үлкен үлес қосты (П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн). Қазақстанда Қ.Бектаев ықтималдықтар теориясы мен М. с. әдістерін ақпараттық жолмен ұтымды қолдана білді.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1.А.Әбілқасымова, Н.Р.Майкотов, Қ.И.Қаңлыбаев, Ә.С.Кенеш «Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2005-208бет. (121-137 беттер)

2.А.Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, З.Жұмағұлова «Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныбына арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2006-184 бет. (139-152  беттер)

3.А.Әбілқасымова, И.Бекбоев, А.Абдиев, З.Жұмағұлова «Алгебра: Жалпы білім беретін мектептің 11-сыныбына арналған оқулық»-Алматы: «Мекеп» баспасы 2007-208 бет. (179-194  беттер)

4.Ә.Н.Шыныбеков «Алгебра және анализ бастамалары 9-сыныбына арналған оқулық»- Алматы: Атамұра, 2005-288 бет. (197-215 беттер)

5.Ә.Н.Шыныбеков «Алгебра және анализ бастамалары 10-сыныбына арналған оқулық»- Алматы: Атамұра, 2006-336 бет. (214-224-229 беттер)

6.Гмурман В.Е. «Теория вероятиностей и математичкая статистика» Учеб. пособие для вузов. Изд.7-е стер-Москва «Высш.школа» 2000-479 стр (17-31-37-64 стр)

7. Калинин В.Е. «Математичкая статистика» Учеб. для студ.спец.учеб. заведений /В.Ф.Панкин 4-е Изд.испр.-Москва: Дрофа 2002-336стр (20-318-321 стр )

8. Х.М.Андрухаев Сборник задач по теории вероятностей Москва  «Просвещение»1985-160 стр.(4-18,23-32 страницы)

Бектаев К.Б., Математические методы в языкознании, т. 1 — 2, А.-А., 1973 —74 (соавт.);

Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика элементтері, А., 1988. Б. Жаңбырбаев

"Қазақ Энциклопедиясы", 6 том