Задача потребительского выбора

Задача  потребительского выбора

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора (х , х ), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. p₁x₁+p₂x₂≤Q, где p₁ и p₂ – рыночные цены, а Q – доход потребителя, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины p₁, p₂ и Q заданы.

Задача  потребительского выбора имеет вид:

u(x₁,x₂)→max

при ограничении p₁x₁+p₂x₂≤Q

и условие x₁≥0, x₂≥0.

Допустимое  множество (т.е. множество наборов  продуктов, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной  прямой. На этом множестве требуется  найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем  полезности. Поиск этой точки можно  интерпретировать графически как последовательный переход на линии всё более  высокого уровня полезности до тех  пор, пока эти линии ещё имеют  общие точки с допустимым множеством.

Решение задачи потребительского выбора и его свойства.

Набор (х , х ), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя.

Рассмотрим  некоторые свойства задачи потребительского выбора. Во – первых, решение задачи  (х , х ) сохраняется при любом монотонном (т.е. сохраняющем порядок значении) преобразовании функции полезности u(x₁,x₂). Поскольку значение u(х , х ), было максимальным на всём допустимом множестве, оно остаётся таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остаётся неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение её в положительную степень, логарифмирование.

Во –  вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз λ . (λ>0)

Это равнозначно  умножению на положительное число  λ обеих частей бюджетного ограничения p₁x₁+p₂x₂≤Q, что даёт неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход Q не входят в функцию полезности, задача остаётся той же, что и первоначально.

Если  на каком – то потребительском  наборе (x₁,x₂) бюджетное ограничение p₁x₁+p₂x₂≤Q будет выполнятся в виде строгого неравенства, то мы можем увеличить потребление какого – либо из продуктов и тем самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор (х , х ), максимизирующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенство, т.е. p₁х +p₂х =Q.

Графически  это означает, что решение (х , х ) задачи потребительского выбора должно лежать на бюджетной прямой, которая проходит через точки пересечения с осями координат, где весь доход тратиться на один продукт: (0, ) и ( ,0).

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо  решение (х , х ) этих двух задач одно и то же)

u(x₁,x₂)→max

                       при условии p₁x₁+p₂x₂=Q.

Для решения  этой задачи применим метод Лагранжа. Выписываем функцию Лагранжа L(x₁,x_2, λ)= u(x₁,x₂)+ λ (p₁x₁+p₂x₂-Q), находим её частные производные по переменным x₁,x₂ и λ и приравниваем к нулю:

  L = u +λ p₁=0,

                                              L = u +λ p₂ =0,

L =p₁x₁+p₂x₂-Q =0.

Исключив  из полученной системы неизвестную  λ, получим систему двух уравнений  с двумя неизвестными x₁, и x₂

  = ,

                                           p₁x₁+p₂x₂=Q .

Решение (х , х ) этой системы есть критическая точка функции Лагранжа. Подставив решение (х , х ) в левую часть равенства

= ,

получим, что  в точке (х , х ) отношение предельных полезностей u (х , х ) и u (х , х ) продуктов равно отношению рыночных цен p₁ и p₂ на эти продукты:

= .                                          (12)

В связи  с тем, что отношение  равно предельной норме замены первого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия (х , х ), из (5.1) следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен на продукты. Приведённый результат играет важную роль в экономической теории.

Геометрически решение (х , х ) можно интерпретировать как точку касания линии безразличия функции полезности u(x₁,x₂) с бюджетной прямой  p₁x₁+p₂x₂=Q. Это определяется тем, что отношение =- показывает тангенс угла наклона линии уровня функции полезности, а отношение - представляет тангенс угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора они равны, в этой точке происходит касание данных двух линий.

Пример  задачи потребительского выбора

Решим задачу потребительского выбора.

Оптимальный набор потребителя  составляет 6 ед. продукта х₁ и 8 ед. продукта х2. Определите цены потребляемых благ, если известно, что доход потребителя равен 240 руб. Функция полезности потребителя имеет вид: u(x₁,x₂)=x x .

Решение. Следуя принципу решения, получаем систему уравнений:

= ,                         = ,                  = ,

p₁x₁+p₂x₂=240.                p₁x₁+p₂x₂=240 .                  p₁x₁+p₂x₂=240 .

Подставив, вместо х₁ – 6 ед., вместо х₂ – 8 ед., получим: p₁=10руб., p₂=22.5руб.