Цветная симметрия в сетчатых орнаментах с преобразованиями подобия

       Мурманский строительный колледжа имени Н.Е. Момота.

       

               

                                                   РЕФЕРАТ

                        ПО ВВЕДЕНИЮ В СПЕЦИАЛЬНОСТЬ.

 

        Тема: « ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯ В СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТАХ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ПОДОБИЯ ».

 

                                                                                

                                                                        

 

 

 

                                                                                     Выполнил:  студент I к.

                                                                                         группы 2791-12

                                                                                   Курчак А. С.

                                                                                       

 

 

 

 

 Проверил: преподаватель

Корягин П. М.

                                                                                       

 

                                                      

 

                                                        Мурманск

 

 

2010

ЦВЕТНАЯ СИММЕТРИЯ  В СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТАХ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ПОДОБИЯ.

Правильная разбивка плоскости  на равные по форме и размерам ячейки с применением ортогональных  преобразований (поворота, отражения  и трансляции) даёт возможность строить  красивые геометрические орнаменты, широкая  область использования которых  – есть декоративное оформление объектов архитектуры и дизайна.

Изучение цветной симметрии  в сетчатых орнаментах не будет достаточно полным без рассмотрения ещё одного вида преобразований, дающего динамическое изменение размеров на плоскости, а  именно: подобия и его частного случая – гомотетии. Эстетическое воздействие  построений на основе законов групп  проективных преобразований возрастает неизмеримо по сравнению с орнаментами на основе равных ячеек за счёт появления эффекта перспективы в калейдоскопическом узоре.

В 1945 г. А. В. Шубниковым была выдвинута идея кратной антисимметрии, а в 1960 г. – идея симметрии подобия (3, с. 317). Известный художник-график Морис Эшер создал серию гравюр, в построении которых заложен принцип симметрии подобия: «Всё меньше и меньше», «Путь жизни I», «Путь жизни II», «Водоворот», виньетка «Рыбы» и другие. Таким образом, было расширено понятие симметрии и её применение в искусстве.

Создание динамических орнаментов значительно упрощается при использовании  алгоритма. Об одном из таких методов, позволяющих отыскать свою дорогу в  геометрическом лабиринте, пойдёт речь в этой статье. В статье будет  дан ответ на вопрос, каким образом  перестраиваются сети для орнаментов с преобразованиями подобия по сравнению  с сетями, имеющими равные ячейки. Данное исследование будет проведено с  использованием графо-аналитического метода и сравнительного анализа в целях получения более наглядного и оптимального способа построения, предназначенного для архитекторов, дизайнеров и художников.

Мотив, как составляющий элемент замкнутой проекционной системы, сам представляет собой  замкнутый участок плоскости. Кривые линии, образующие границу мотива, тоже обладают этим свойством. Их количество может изменяться от двух до четырёх  пар. Каждая кривая линия совершает  либо поворот, либо отражение, либо их комбинацию, поэтому она имеет  свою пару (так называемый дубликат).

Построение одного мотива в сети с цветоактивными осями записывается как: р/f + q/g + г/h = 1, где f, g, h – номера порядков осей симметрии (могут принимать значения: 2; 3; 4; 6 – в зависимости от типа сети): р, q, r – параметры цветоактивности этих осей (являются решениями уравнения и могут быть равны: 1; 2; 3; 4) [1, с. 215]. В некоторых орнаментах используется операция отражения от зеркала m, тогда слагаемое в этом уравнении будет – m/2. В том случае, если кривая линия поворачивается и отражается одновременно, это комбинированное действие записывается как произведение, например: m/2 • р/f.

Элементарным событием в  опыте нашей задачи, т. е. раскраске  целого орнамента, построенного на основе динамической симметрии, является раскраска  одного мотива, который, в свою очередь, составлен из отдельных кривых линий. Поэтому композиция гомотетии g, поворота f и отражения m отдельных кривых будет определять создание целого орнамента. Подобие на плоскости h можно представить алгебраически как произведение преобразований, имеющихся в построении мотива, например: h = m/2 ∙ f ∙ g. Это свойство подобия [2, с. 69] даёт возможность рисовать различные мотивы, составленные из кривых с одинаковым коэффициентом подобия k, но имеющими неодинаковые группы преобразований.

Рис. 1

Любой орнамент задаётся однозначно одним мотивом, построенным на элементарной ячейке, а также способом своего перемещения на бесконечной плоскости. Рассмотрим орнамент на основе ячейки – «равносторонний треугольник». Такая ячейка образует правильную сеть S. Орнамент, построенный на её основе, имеет формулу для раскраски:  
(½+ 3/6) • 2 = 2 цвета (рис. 1).

Каким образом можно получить динамическую сеть S?

Вначале дадим определение  преобразованию плоскости, получившему  своё название подобия. Подобие кривой линии АВ есть такое преобразование множества точек АВ, что произвольно  выбранной точке N, принадлежащей  АВ, ставится в соответствие точка N', при этом  
|АN| = k • |А'N'|, k > 0 [2, с. 291].

Рис. 2

На рисунке 2 дана иллюстрация  построения образов: точки В при преобразовании подобия, а также кривой ANB, образующей целый мотив.

Кривая АN''В'' поворачивается на угол 180° относительно точки В'' и переходит в кривую В''М'С, что записывается как: q/2. Далее, в результате преобразования подобия кривая АN''В'' увеличивается в размерах в k раз. Полученная кривая ANB поворачивается на угол 60° относительно оси 6-го порядка, точки В и переходит в кривую ВМС, что в алгебраическом виде записывается как: р/6 ∙ k.

Таким образом может быть завершено построение замкнутого мотива. Эта комбинация записывается как сумма двух предыдущих действий:  
q/2 + р/6∙ k = 1.

Рис. 3

Построим гомотетию мотива с центром гомотетии О; а также коэффициентом гомотетии k=2 на основе треугольной ячейки (рис. 3). Для того, чтобы в уравнении, определяющем количество цветов в орнаменте, правильно поставить коэффициент (k > 1 или k < 1), необходимо установить, совпадает ли центр гомотетии О и центр поворота части орнамента В. Если центры совпадают (О=В), т. е. из центра орнамента происходит увеличение отдельных ячеек и мотивов, то коэффициент k>1; если центры не совпадают, то, наоборот, k<1.

Если выполнить наложение  участка правильной сети S на полученную гомотетию одной ячейки этой сети, то наглядно видно совпадение центра гомотетии с осью 6-го порядка (у  правильной сети). Таким образом, превращение  оси 6-го порядка в центр гомотетии О есть ключевой момент в построении динамической сети S.

Далее необходимо построить  сеть, 1/3 часть всего орнамента. Если выполнить повороты 3-го порядка  полученной сети относительно точки В, то получится динамический орнамент с коэффициентом подобия k=1/2, требующий для своей раскраски, как минимум, два цвета (рис. 4). На рисунке 5 показан орнамент, построенный на основе аналогичной гомотетии, но с коэффициентом подобия k=2.

Если решить полученное уравнение: (3 ; 2), то можно определить параметры  цветоактивности орнамента для k=2 : р=2; q=1. Уравнение для раскраски орнаментов, изображённых на рисунках 4 и 5, примет вид: 
(½ + 3/6 ∙ 2 ∙ 1/2) ∙ 2 = 2 цвета. 

Рис. 4 Рис. 5

Итак, после того, как был  рассмотрен алгоритм создания динамического  орнамента на основе преобразования подобия, можно перейти к решению  задачи о разнообразии видов орнаментов основе одинаковых по форме ячеек, но с различными коэффициентами подобия. Приведём решение этой задачи на примере  элементарной ячейки «прямоугольный треугольник». Мозаика на основе правильной сети Q с применением этой ячейки имеет  формулу для раскраски:  
(1/2 + 2/4) • 2 = 2 цвета (рис. 6).

Рис. 6

Схема ячейки для создания правильного орнамента представлена на рисунке 7.

Если при построении мотива к преобразованиям поворотов 2-го и 4-го порядков добавить преобразование подобия, то получится мотив, участвующий  в создании динамического орнамента.

Рис. 7

Рассмотрим первый вид  орнамента на основе мотива с коэффициентом  подобия k=√2, имеющего уравнение: р/2 + q/4•√2 = 1 (рис. 8). В ячейке без преобразования подобия не требовалось изменять размер кривой, однако подобие выводит необходимость появления индекса k, равного коэффициенту подобия сторон ячейки. Для того, чтобы определить параметры цветоактивности р и q, необходимо решить уравнение. Решениями служит следующая пара чисел: (1; √2). Уравнение для раскраски орнамента принимает следующий вид:  
(1/2 + 1/4•√2•√2) •2 = 2 цвета. На основе полученной гомотетии можно создать два различных по своему восприятию орнамента: с коэффициентами подобия k=√2 и k=1/√2. 
 
 

Рис. 8

Рассмотрим второй вид  орнамента, отличающийся от первого  наличием преобразования зеркальной симметрии  m/2 (рис. 9). Этот орнамент будет иметь формулу для своей раскраски:  
(1/2 + m/2•√2•√2 + m/2•√2•√2) • 3 = 3 цвета.

И, наконец, третий вид орнамента, построенный на основе аналогичной  по форме ячейки «прямоугольный треугольник», но имеющей преобразовании я с  коэффициентом подобия k=2, показан  на рисунке 10. Формула для его  раскраски имеет вид:  
(1/2 + 1/2•1/2 + ¼) • 4 = 4 цвета.  
 

Рис. 9  

Рис. 10

Итак, можно ответить на вопрос, каким образом изменяется правильная сеть Q, если в построении мотива появляется преобразование подобия и приблизиться к получению алгоритма для  построения любой динамической сети.

Во-первых, в сети появляется один общий центр. Ячейки-треугольники сохраняют свою величину только на равном расстоянии от центра. По мере удаления от центра треугольники увеличиваются  до бесконечно большого размера, но остаются подобны друг другу с коэффициентом  подобия k2, при этом коэффициент  подобия кривой линии k.

Понятие "цвета" в данном случае имеет не бытовое значение. "Цвет" означает, в каком соотношении  находится порядок геометрической оси симметрии кривой линии при  образовании мотива – с одной  стороны и порядок цветоактивной оси при перемещении мотива определённого цвета – с другой стороны.

Во-вторых, динамические сети могут быть построены с использованием разнообразных преобразований и  в зависимости от этого раскрашиваются в два, три или четыре, а не однозначно в два (как сеть Q) цвета.

В результате исследований можно констатировать, что сети с  преобразованиями подобия являются голографическими структурами, несущими информацию о целом в одной  ячейке. Каждая из динамических сетей  несет на себе печать структурных  особенностей правильных сетей, имеющих  определённое математическое кодирование (с коэффициентом подобия k=1).

Сети с преобразованиями подобия имеют в своей основе ячейки с коэффициентом подобия, не равным единице: k<1, если центр симметрии орнамента не совпадает с центром гомотетии мотива и, наоборот, k>1, если центр симметрии орнамента совпадает с центром гомотетии мотива. Таким образом, в формуле для определения цветов добавляется множитель – коэффициент подобия одной кривой линии по отношению к другой линии. k связан с геометрической осью симметрии. На цветоактивную ось тоже воздействует этот коэффициент, поэтому необходим второй такой же множитель. Количество цветов для раскраски орнамента С будет определяться по следующей формуле: С = ( p • k2 / f + q / g + r/h ) • N, где f, g и h – номера порядков геометрических осей; N – модуль или количество мотивов, различающихся по цвету; р, q и r – параметры цветоактивности орнамента.

Полученная формула даёт возможность прогнозирования количества цветов для раскраски орнаментов, построенных в сетях с преобразованиями подобия.

Цветная симметрия является законом строения сетчатых орнаментов с преобразованиями подобия, сохраняющим  их структурную целостность.

 

 

 

 

 

 Литература

1. Бабич В.Н. Графоаналитические основы и принципы инвариантности в архитектуре и дизайне. – Екатеринбург, 2003.– 225 с.
2. Математика.– М., 1995. – 574 с.
3. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве.– Москва-Ижевск, 2004. –560с.