Математика и архитектура

                                                Математика и архитектура

С давнейших времен люди по всему миру ведут постоянные дискуссии, предметом которых является вопрос о пользе и красоте. Архитекторы стараются найти ответ на вопрос как создать , что-то прекрасное и в то же время прочное и удобное для использования.

Математика в архитектуре  является залогом успеха :  точные расчеты и соблюдение законов физики. Благодаря этому несложно, имея подходящее образование создать пригодное для использование здание как говорил Френсис Бекон : «Дома строят для того, чтобы в них жить, а не для того, чтобы ими любоваться» такая точка зрения породила безликость фасадов и  распространила по всему миру дома, районы и города  похожие друг на друга, что удачно представлено в пьесе Брагинского и Рязанова «С легким паром».

Есть и другая крайность  во взглядах в соотношение пользы и красоты. Джон Рескин говорил: «Искусство –это то , что бесполезно. Как только вещь становится полезной, она не может быть красивой» 

В решение данной проблемы на помощь приходит математика , а именно симметрия и пропорции.

Все начиналось с развития стоечно-балочной конструкции. Разумеется, она проигрывала пирамиде в устойчивости и распределении вес, но она позволяла создавать внутренние объемы. Главным же недостатком данной конструкции было то, что камень плохо работает на изгиб.

 

 

Однако камень прекрасно  работает на сжатие. Это свойство камня  и дало жизнь новой архитектурной  конструкции – арке, а затем  и своду.

Арки произвели целую  революцию в архитектуре, арочно-сводчатая  конструкция была доведена римлянами  до совершенства и позволила возвести величайшие сооружения. Например, это Колизей.

 

Римские арки, своды и купола были неизменно полуциркульными. Здесь, видимо , сказывалось влияние пифагорейской философии, считавшей круг и сферу идеальными фигурами, а также, безусловно , простота построения. Как бы то ни было, с появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей пришли окружности, сферы и круговые цилиндры, что сделало геометрический язык архитектуры значительно богаче. Однако полуциркульная арка или полусферический купол давали сильный боковой распор, что ясно видно из схемы сил, действующих в арке. Боковые усилия приходилось гасить толщенной стен и устройством дополнительных контрфорсов ( толщина стен Пантеона достигала 7 метров) , что влекло расход строительных материалов.

На смену арочно-сводчатая конструкции крестоносцы с пленниками-сарацинами крестоносцы привезли в Европу секреты возведения стрельчатых арок, что породило новую архитектуру – готику.

Стрельчатая арка по сравнению  с полуциркульной является более  совершенной конструкцией. В результате сооружение становится более гибким и изящным.

Распределение веса конструкции  в готике

В 19 веке на пришла совершенно новая система конструирования, использовавшая железо в свое основе, характерным примером является Эйфелева башня. Однако «Век железа» в архитектуре оказался недолгим. С новым 20 веком пришел необычный материал железобетон.

 

 

 

Строительство железобетонных покрытий требовало опалубки, удерживающей жидкий бетон и придающий ему  наилучшую форму. Цилиндры и конусы были известны давно , однако математики подсказали еще два типа линейчатых поверхностей

-однополосный гиперболоид

 

-гиперболический параболоид

 

 

Современная архитектура  еще более богата разнообразием  форм :

Можно убедиться, что не всегда эксклюзивные формы могут быть залогом красоты, поэтому при создание  формулы совершенной архитектуры необходимо учитывать искусство, включающую в себя гармонию, выявить которую возможно может только талант мастера.

Итак,  архитектура = (наука + техника) * искусство 

Без искусства невозможна архитектура. Что же является одним  из компонентов этого искусства:

- пропорции.

Пропорция – математика архитектурной гармонии

 

Пропорции являются важным и  надежным средством зодчего для  достижения хрупкого и тонко сбалансированного  равновесия между целым и его  частями, имя которому гармония.

По сравнению с композитором или скульптором архитектор находится  в более сложном положении, ибо  он должен заботится не только о  «красоте» , но также о пользе и прочности.

При рассмотрении пропорций  Парфенона существовало большое  количество теорий

Жолтовский (а). Гримм. Хембридж (б) . Мессель (в) Шевель  (г).

Различные чертежи пропорций  Парфенона кажутся странными  ведь в них нет ничего общего, однако это не так. Они как различные доказательства теоремы Пифагора. От этого «теорема Парфенона» не становится хуже, а ,напротив, предстает перед нами во всем своем богатстве и красоте.

 

(Здесь можно привести  математические доказательства  того, что все способы анализа  пропорций Парфенона сводятся  к одному и тому же, но я  сомневаюсь, что  зрителю они  будут интересны, только если  для солидности       хотелось бы услышать ваше  мнение)

 

Примеры пропорций:

 

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

Отрезок прямой АВ можно  разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.

Последнее и есть золотое  деление или деление отрезка  в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это  такое пропорциональное деление  отрезка на неравные части, при котором  весь отрезок так относится к  большей части, как сама большая  часть относится к меньшей; или  другими словами, меньший отрезок  так относится к большему, как  больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение  золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с  деления отрезка прямой в золотой  пропорции с помощью циркуля  и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка  прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56.

Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет  место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального  формата.

Рис. 4. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения

На рисунке показано положение  линии второго золотого сечения. Она находится посередине между  линией золотого сечения и средней  линией прямоугольника.

Золотой треугольник

Для нахождения отрезков золотой  пропорции восходящего и нисходящего  рядов можно пользоваться пентаграммой.

Рис. 5. Построение правильного  пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы  необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471...1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой  треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит  ее в пропорции золотого сечения.

 

 

Золотое сечение в архитектуре:

 

Используя рассмотренные  примеры можно сделать вывод  о необходимости соблюдения пропорций  в архитектуре, которые являются залогом прекрасного.