Прямоугольные системы координат

Введение.

 

Одним из важнейших принципов  развития геодезии является принцип

координатизации окружающего  пространства. Он определяет предметное

существо геодезии, характерное  для всех исторических этапов. Научно-

технический прогресс и  расширение жизненного пространства человечества

только усиливают значимость этого принципа как в самой  геодезии (во всех ее дисциплинах), так и во всех сферах деятельности людей.

Таким образом, теория и  методы координат составляют фундамент  всей

геодезии и ее частей. Поэтому существует настоятельная потребность введения теории и методов координат не только как специального раздела геодезии, но и как общего курса для всех геодезических специальностей.

Геодезия - наука об измерениях на земной поверхности. В геодезии применяются  преимущественно линейные и угловые измерения. Такие измерения необходимы для определения формы и размеров нашей планеты - Земли и её частей, для определения координат пунктов, создания карт, планов и профилей и для строительства различных сооружений. Геодезические измерения производятся также под земной поверхностью (в связи с горными работами, сооружением тоннелей и т.п.), под водой (при съёмках дна морей, океанов, озёр) и в околоземном пространстве.

Геодезия при решении  поставленных перед нею задач  пользуется достижениями ряда других наук и прежде всего математики и физики.

Материалы геодезических  работ в виде планов, карт и числовых величин (координат и высот) точек  земной поверхности имеют большое  применение в различных отраслях народного хозяйства. Всякое сооружение проектируют с учетом имеющихся на местности контуров сооружений, дорог, водных источников, почвы, грунта. Поэтому для проектирования необходим план местности с подробным отображением всех деталей. Проектирование и строительство сел, городов, железных и шоссейных дорог нельзя выполнять без геодезических материалов.

В теоретических исследованиях  и практике геодезических работ  особое внимание уделяется определению  взаимного положения точек, как  в плановом отношении, так и по высоте. Многолетний опыт выполнения такого рода работ позволил выработать основные принципиальные положения, которые следует неукоснительно соблюдать при организации геодезических измерений. Это позволяет свести к минимуму неизбежные ошибки, не допустить накопления погрешностей при переходе от точки к точке, полностью избавиться от грубых промахов.

Актуальность темы обусловлена тем, что глобальные и локальные координаты необходимы как геодезическая основа всего бесконечного разнообразия приложения геодезии в народном хозяйстве и науке. Без систем координат не обходятся никакие теоретические исследования, никакая теория.

Цель работы: рассмотрение прямоугольных система координат, ознакомление с ее разновидностями и принципами.

Задачи: изучить принципы построения прямоугольных систем координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Система прямоугольных координат на плоскости

 
Прямоугольная система координат  на плоскости образуется двумя взаимно  перпендикулярными осями координат   и  . Оси координат пересекаются в точке  , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

 

Рис. 1. Прямоугольная система координат на плоскости.

 

Положение точки   на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата   равна длине отрезка  , координата   — длине отрезка   в выбранных единицах измерения. Отрезки   и   определяются линиями, проведёнными из точки   параллельно осям   и   соответственно.

При этом координате   приписывается знак минус, если точка   лежит на луче   (а не на луче  , как на рисунке). Координате   приписывается знак минус, если точка   лежит на луче  . Таким образом,  и   являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Координата   называется абсциссой точки  , координата   — ординатой точки  .

Символически это записывают так:

или

или указывают принадлежность координат  конкретной точке с помощью индекса:

В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси   вверх, ось   смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно - например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат   и  , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Если точка   лежит в координатном углу I, то точка   имеет положительную абсциссу и ординату. Если точка   лежит в координатном углу II, то точка   имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка   лежит в координатном углу III, то точка   имеет отрицательную абсциссу и ординату. Если точка   лежит в координатном углу IV, то точка   имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

При составлении картографических проекций, искажения могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными.

При равноугольном отображении поверхности эллипсоида на плоскости используется прием применения бесконечно малых геометрических фигур, координаты точек которых определяются по относительному расположению этих точек в системе прямоугольных координат. При этом искажения углов получаются незначительными, поскольку само построение сети фигур опирается на измерение углов и сторон этих фигур.

В равновеликих картографических проекциях  сохраняется соотношение между  площадями этих фигур, однако допускается  неточность в определении углов между направлениями и расстояниями.

В нашей стране для  перехода от геодезических координат  к плоским прямоугольным используют поперечную цилиндрическую равноугольную  картографическую проекцию, которая  получила название "проекция Гаусса-Крюгера" (по имени немецких ученых, предложивших ее использование и разработавших методику для её применения в геодезии). Систему координат, соответствующую проекции Гаусса-Крюгера называют государственной. Отдельная статья, посвященная проекции Гаусса-Крюгера изложена в разделе этого сайта о маркшейдерском деле.

Основные условия для  разработки этой проекции:  
- проекция сохраняет равенство соответствующих горизонтальных углов на поверхности эллипсоида и на плоскости;  
- бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему контуром на плоскости;  
- масштаб изображения в каждой точке проекции зависит только от ее координат и не зависит от направления;  
- при использовании проекции земной эллипсоид разделяется меридианами на зоны, имеющие свое начало координат - пересечение осевого меридиана с экватором;  
- масштаб проекции вдоль осевого (среднего) меридиана зоны равен единице, т. е. изображается без искажений.

Осевой меридиан зоны и экватор изображают на плоскости двумя взаимно перпендикулярными линиями.

Рис 2. а) Проекция Гаусса-Крюгера, б) Зональная  система координат

 

В основу проекции Гаусса-Крюгера положено разделение земного эллипсоида на ряд одинаковых меридианных долей, подобно тому, как мы нарезаем арбуз. Угол между плоскостями, разделяющими соседние меридианные доли, принимается равным 6 градусам, в результате чего на поверхности эллипсоида вырезаются 60 зон.

В пределах каждой зоны строится своя прямоугольная система координат. С этой целью все точки данной зоны проецируются на поверхность цилиндра, ось которого находится в плоскости  экватора Земли, а его поверхность  касается поверхности Земли вдоль  среднего меридиана зоны, называемого осевым. При этом соблюдается условие сохранения подобия фигур на земле и в проекции при малых размерах этих фигур. Спроецированное на поверхность цилиндра изображение зоны разворачивается на плоскость, при этом проекция осевого меридиана и соответствующего участка прямоугольной системы координат представляет две взаимно перпендикулярные прямые, точка пересечения которых и принимается за начало зональной плоской прямоугольной системы координат. 
Северное и восточное направления этих осей считаются положительными в пределах каждой зоны.

Для всех точек на территории нашей страны абсциссы имеют положительное  значение, поскольку Россия расположена  в северном полушарии. Чтобы ординаты точек также были только положительными, в каждой зоне ординату пересечения осей координат принимают равной не нулю, а 500 км. 
Благодаря такому приему, точки, расположенные к западу от осевого меридиана каждой зоны, имеют ординаты меньше 500 км, а к востоку - больше 500 км, но в обоих случаях являются положительными.  
Такие ординаты называют преобразованными.

Если за начало плоской  прямоугольной системы координат  принять произвольную точку, то она  будет называться относительной  или условной.

В тех случаях, когда  относительные ошибки, получаемые из-за искажения длин линий в проекции Гаусса-Крюгера, превышают допустимые для данных построений или вычислений, прибегают к разделению эллипсоида на трехградусные зоны.

На картах, составленных в равноугольной картографической проекции Гаусса-Крюгера, искажения  длин в различных точках проекции различны, но по разным направлениям, выходящим из одной и той же точки, эти искажения будут одинаковы. Круг малого радиуса, взятый на уровенной поверхности, изобразится в этой проекции тоже кругом. Поэтому считается, что рассматриваемая проекция на плоскость сохраняет подобие фигур на сфере и в проекции при малых размерах этих фигур.  
Таким образом, изображения контуров земной поверхности в этой проекции близки к натуральным контурам.

Изображение на плоскости  каждой из этих шестиградусных долей составляет колонну листов Международной карты мира в масштабе 1:1 000 000. Каждая шестиградусная доля, в свою очередь, является координатной основой для построения крупномасштабных изображений поверхности.

По причине обособленности систем координат каждой зоны возникают некоторые неудобства в граничных линиях их стыковки. В этих случаях для описания положения точек используют системы координат обеих соседних зон.

Для построения топографических  карт в ряде стран применяется  проекция UTM (универсальная трансверсальная проекция Меркатора), также выполненная в шестиградусных зонах.

 

2. Система прямоугольных координат в пространстве 

 

Прямоугольная система  координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат  ,   и  . Оси координат пересекаются в точке  , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей.   — ось абсцисс,   — ось ординат,   — ось аппликат.

 

 

Рис. 3. Прямоугольная система координат в пространстве 

Положение точки   в пространстве определяется тремя координатами  ,   и  . Координата   равна длине отрезка , координата   — длине отрезка  , координата   — длине отрезка   в выбранных единицах измерения. Отрезки  ,   и   определяются плоскостями, проведёнными из точки   параллельно плоскостям  ,   и  соответственно.

Координата   называется абсциссой точки  ,

координата   — ординатой точки  ,

координата   — аппликатой точки  .

Символически это записывают так:

или

или привязывают запись координат к конкретной точке  с помощью индекса:

Каждая ось рассматривается  как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка   лежала не как на рисунке — на луче  , а на его продолжении в обратную сторону от точки   (на отрицательной части оси  ), то абсцисса   точки   была бы отрицательной (минус расстоянию  ). Аналогично и для двух других осей.

Прямоугольные системы  координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагать их если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 3 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат можно используя правило правой руки, правило винта итп (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси   против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси  , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси  ).

 

3. Система прямоугольных координат в многомерном пространстве

 

Прямоугольная система  координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как  это делается для трехмерного  пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать ее n).

Для обозначения координат  обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

Для обозначения произвольной i-ой координаты из этого набора используют буквенный индекс:

а нередко обозначение   используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений:  .