1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ  ДЛЯ УРАВНЕНИЙ  С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

1.1. Явные и неявные  разностные схемы.

 

      Вид разностных уравнений и методы их решения поясним на примере одномерного  уравнения теплопроводности

,      .                            (5)

, ,

      Введем  разностную сетку с шагом дискретизации  по переменной x в области ее изменения и с шагом t - в области изменения времени t так, что , , , , где - количество шагов дискретизации переменным x, t.

      Примем  обозначения: - значение сеточной функции температуры, - разностная аппроксимация сеточными функциями второй производной температуры по координате

,

 

      Для задачи (5) можно записать две разностные схемы:

,                                 (6)

.                            (7)

      Схемы (6), (7) отличаются тем, что в первом случае разностная аппроксимация сеточными  функциями второй производной температуры  по координате происходит на n временном слое, а во втором - на n + 1.

      При использовании схемы (6) значение температуры  на (n + 1) временном шаге полностью определяется через данные n - го шага

.

      Такая схема называется явной. Она удобна для организации вычислительного  процесса и минимальна по количеству вычислительных операций. Единственным, но очень существенным недостатком  явной схемы является то, что она  устойчива лишь при весьма жестких  ограничениях шага по времени. Мелкое дробление шага , не связанное с требованием точности, приводит к неоправданно большим вычислительным затратам.  По этой причине использование явных схем для решения одномерных и тем более многомерных задач малоэффективно.

      Вторая  схема неявная в том смысле, что  для вычисления температуры  на n+1 шаге  необходимо решать систему уравнений

,                                   (8)

которая после преобразований приводится к виду

,                           (9)

.

Здесь в  правой части уравнения стоит  известное значение температуры  на предыдущем шаге по времени. Решение  системы существует и потому схема (7)  устойчива при любых  и h. 

1.2. Метод прогонки  для одномерной  разностной схемы.

 

      Устойчивость  неявной схемы разностной аппроксимации  дает возможность ее широкого применения в задачах численного решения  уравнений в частных производных. В одномерном случае для решения  системы уравнений, к которой приводится неявная схема  используется экономичный метод скалярной прогонки.

      Уравнение (5) с помощью неявной схемы (7) - (9) представим в следующем разностном виде

,           .            (10)

где коэффициенты , ,

      Дополним  систему уравнений (10) краевыми условиями  исходной задачи (5), которые должны выполняться на любом временном  слое и потому определяют значения сеточной температуры при i =0, N_i

       , .                                         (11)

      Так для каждого n решается задача определения температуры на n+ 1 шаге, в дальнейших рассуждениях верхний индекс во всех членах уравнения (10) опускаем.

      Решение уравнения ищем в форме :

.                                                (12)

      Подставив выражение (11) в уравнение (10) и приводя  подобные слагаемые, получим:

.

      Откуда 

        .                                   (13)

      В результате получена рекуррентная формула  расчета температуры

       ,                           (14)

      где

       .                           (15)

      Стандартный метод прогонки заключается в  том, что вначале обратным счетом определяются все коэффициенты ,  а затем вычисляются значения сеточной функции температуры. Необходимые для начала счета значения определяются из краевых условий. 
 

1.3. Продольно-поперечная  схема для двумерного  уравнения

 
 

     Рассмотрим  двумерное уравнение теплопроводности

                                    (16)

в области, представляющей собой прямоугольник  со сторонами l₁ и l₂ . В этой области строим сетку с шагами Пусть - граница введенной сеточной области, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, . Оператор заменим разностным оператором :

                           (17)

     Функцию заменяем ее сеточным аналогом

     Сетку можно представить как совокупность узлов, расположенных на строках , или как совокупность узлов, расположенных в столбцах . Всего имеется столбцов и строк. Число узлов в каждой строке равно , а в каждом столбце узлов.

     Алгоритмическую идею переменных направлений, основанную на применении неявных схем, выражает продольно-поперечная схема, предложенная Писменом, Рекфордом и Дугласом в 1955 году. Смысл ее состоит в дроблении шага по времени и последовательном решении задачи по каждой из координат. При этом наряду с основными значениями искомой сеточной функции Т(х,z,t), которые n шаге обозначаются как , а на n+1 шаге  вводится промежуточное значение , которое можно формально рассматривать как значение температуры T при временном значении . Переход от слоя временного n к слою n+1 совершается в два этапа с шагами  по :

                (18)

     

, 

     Первое  из уравнений (18) представляет разностную схему неявную по координате x, второе - по координате z. 

     Пусть дано . Тогда вычисляем , затем методом прогонки вдоль строк из первого уравнения (18) определим промежуточное значение температуры во всех узлах сетки , после чего вычисляем и решаем задачу вдоль столбцов , определяя . При переходе от слоя к слою процедура счета повторяется, т.е. происходит все время чередование направлений. 
 

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ  ДВУМЕРНОГО  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  ТЕМПЕРАТУРЫ В  СРЕДЕ С ВКЛЮЧЕНИЕМ

 
 

     Распределение температуры в среде описывается  двумерным уравнением теплопроводности

      .                            (19)

 

      Среда (область решения ) представляет собой прямоугольник шириной М= 100км, глубиной L = 30 км

       .                           (20)

      Включение представляет прямоугольную область, глубиной 4 км, шириной 14 км, расположенную  в центре области G, на расстоянии 5 км от поверхности z = 0.

      Коэффициент теплопроводности среды  = 2 Вт/(м*К), включения = 4 Вт/(м*К),

      Граничные условия.

      На  поверхности среды  задана постоянная температура

  .                                            (21)

      На  нижней границе ( ) задан постоянный поток q = 30 мВт/м².

  .                                              (22)

      Граничные условия на левом  краю определяются из стационарного распределения температуры по высоте среды (координате z) без включений при наличии постоянного потока q на нижней границе. Cтационарное  распределение температуры по высоте описывается уравнением

                                         (23)

      Откуда                 .  

Из условия  на поверхности среды  следует

Аналогично, из условия существования потока на нижней границе ( )

находим значение коэффициента . 

      Таким образом, граничное условие на левом  краю выражается уравнением :

       .                               (24)

      Предполагается, что правый край среды  теплоизолирован и граничное условие на правом  краю выражается в виде отсутствия горизонтальной составляющей теплового потока.

      Начальное условие - распределение температуры  в начальный момент времени (при ). Всюду в области решения G предполагается стационарное распределение температуры, которое задается с помощью уравнения (24), распространенного на всю область . 
 

3. РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

 

      Для удобства решения приведем уравнение (19) распределения температуры в  среде к безразмерному виду. С  этой целью введем новые безразмерные переменные  , ,  , . Тогда уравнение (19) в новых переменных будет иметь тот же вид

,                                    (25)

а область  изменения переменных задается неравенствами

.                                     (26)

      Введем  в области решения разностную сетку с шагом дискретизации  по переменной , шагом по переменной в области ее изменения и с шагом t - в области изменения времени так, что , , , , , , где - количество соответствующих шагов дискретизации.

     Примем  обозначения: - температура на n временном слое в точке с координатами , , - температура на n + 1 временном слое в той же точке, - промежуточная температура между n и n + 1 слоями с шагом по времени 0,5 .

      _{Скачкообразное  изменение коэффициента теплопроводности на границе среды  и включения аппроксимируем плавно меняющимися  сеточными функциями}  

, , 

,  

     Аппроксимируем  исходное уравнение (25) в соответствии с продольно-поперечной схемой (18). Получим:

     

      .      (27) 

     

      .    (28)

           Записанная схема (27) - (28) является неявной по соответствующим  координатам, абсолютно устойчивой и на равномерной сетке обеспечивает сходимость и аппроксимирует исходную задачу с точностью .

     Представим  разностные уравнения (27) - (28) в следующем  виде

      Первый  полушаг по времени: расчет изменения  промежуточной температуры по вертикали (по индексу k) для каждого фиксированного столбца (индекс i)

.                                 (29)