Космогонические гипотезы

      Кинетическая энергия тела Р, движущегося со скоростью v, равна

      Eк=(mv)2/2.

    Полная  энергия тела Е равна сумме  потенциальной и кинетической энергии

      E=(m/2)(v2-2(fM)/r).

    Приняв  Е постоянной величине и разделив правую часть написанной формулы  на m/2, мы и получим соотношение (*). Для эллиптического движения скорость в начальной момент сравнительно мала, и постоянная h, называемая постоянной энергии и вычисляемая по формуле (**), отрицательна; Для параболического движения vo2=2(fM)/r и, следовательно, h=0; для движения по гиперболе постоянная h положительна.

      Между периодом обращения Т  небесного тела, большой полуосью  орбиты а и массой силового  центра М существует важная  зависимость

      T2=(4π2a3)/(fM).

    Эта зависимость приводит к третьему закону Кеплера (именно таким путем  Ньютон и вывел этот закон из своих теорем). С другой стороны, мы получаем возможность сравнивать массы силовых центров, вокруг которых обращаются небесные тела.

      Рассмотрим движение Земли вокруг  Солнца и Луны вокруг Земли.  Если обозначить через Т1, Т2  периоды обращения Земли и Луны, через а1, а2 - среднее расстояния Земли от Солнца и Луны от Земли, а через М, m- массы Солца и Земли, то

      T21=(4π2a31)/(fM), T22=(4π2a32)/(fM).

      и

     T21/T22= (a31/a32) ∙(m/M),

      откуда

     m/M= (T21/T22) ∙ (a32/a31).

      Подставляя следующие (приближенные) значения: Т1= 365 суток, Т2=27 суток, а2= 384 000 км, а1= 150 ∙ 106 км, получим

      m/M = (3652/272) ∙ (384 0003/150 000 0003) ≈ 1/330 000.

      Точно так же можно сравнить  массы Солнца и любой планеты,  у которой имеются спутники, или  массы двух планет, имеющих спутников. Ньютон определил таким путем массы Юпитера и Сатурна, спутники которых в то время были уже известны. Оказалось, что масса примерно в 1000 раз и масса Сатурна в 3000 раз меньше массы Солнца.

      Эти первые определения масс  небесных тел показали, что массы планет очень малы по сравнению с массой Солнца. При исследовании движений планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет можно применять результаты решения рассмотренной выше задачи двух тел, принимая в одном случае Солнце, а в другом случае планету за силовой центр. Однако все же задача о движении какой либо планеты вокруг Солнца отличается от рассморенной задачи о движении вокруг силового центра. Действительно, мы считали силовой центр неподвижным, и, следовательно , не учитывали притяжение самого силового центра данным телом. Между тем, согласно третьему закону Ньютона, каждая планета должна притягивать Солнце, и под влиянием притяжения планет Солнце должно перемещаться.

      Рассмотрим планету Р и Солце  S, притягивающие друг друга по закону Ньютона  

    Если  их массы равны m и М, то сила взаимного притяжения между ними равна

      F= f(Mm/r2),

    где r- расстояние PS. Солнце S сообщает планете ускорение WP=f(M/r2), а планета, притягивающая S с такой же силой, сообщает ему ускорение WS=f(m/r2). Ускорение Солнца S во столько же раз меньше ускорения планеты Р, во сколько раз масса S больше массы Р. Очевидно, ускорение Солнца очень мало, но все же оно существует.

      Рассмотрим движение планеты  Р относительно Солнца S, которое видит наблюдатель, находящийся на S. Относительное ускорение планеты Р будет равно сумме ускорений Wp и WS:

      W= WS+ WP=f((M+m)/r)2.

      Следовательно, если рассматривать  движение Р вокруг S как вокруг неподвижного силового центра, то ускорение от Р к S будет такое, какое создает притягивающее тело с массой М+ m. Коэффициент, определяющий "абсолютную силу центра", будет равен f(M+m). Все формулы, определяющие критическую скорость, период обращения и др., выводимые для движения вокруг силового центра, астаются справедливыми с новым значением " абсолютной силы центра". Если Р обращается вокруг S по эллипсу, то

      T2=((4π2a3)/(f(M+m)).

      Если бы несколько тел с  массами m1, m2... обращались вокруг неподвижного силового центра с массой М по эллипсам, то для них всех Т2~ a2/fM и квадраты периодов обращения относились бы точно, как кубы больших полуосей орбит (третий закон Кеплера). Но если рассматриваются движения этих тел вокруг одного тела S (например, движения нескольких планет вокруг Солнца) с периодами Т1, Т2, ... и большими полуосями орбит а1 , а2, . ..., то

      T12= (4π2a13) /f (M+m1) ; T22=(4π2a23) / f(M+m2); . . .

      и T12 : T22 : . . . = a13/M+m1 : a23/M+m2 . . . .

      Эта зависимость показывает, что  квадраты периодов обращения  планет вокруг Солнца не относятся  точно, как кубы больших полуосей  их эллиптических орбит. Таким образом, строго говоря, третий закон Кеплера не удовлетворяется. Но так как массы планет очень малы по сравнения с массой Солнца, т.е. (M+m1 : M+m2 : . . . ≈ 1, то и a13/ T12 ≈ a23/ T22≈ . . . Третий закон Кеплера удовлетворяется таким образом почти точно.

      То движение, которое мы рассмотрели,  является относительным движением  одного небесного тела вокруг  другого. Но если наблюдать  со стороны, с некоторого неподвижного  пункта, то тогда мы увидим, что  и Р и О будут находиться  в движении под влиянием взаимных ускорений. Ньютон показывает, что в покое (или в состоянии равномерногои прямолинейного движения) будет находится центр инерции (или центр масс) О и Р, сами же тела будут двигаться вокруг этого центра масс. Их орбиты будут подобны орбите Р в е его движении вокруг О.

      Если масса М центра О очень  велика по сравнению с массой  m тела Р, то ускорение, сообщаемое телу О телом Р, очень незначительно, а центр масс О и Р практически совпадает с О. Тогда можно считать, что О неподвижно, а Р движется вокруг неподвижного центра. 

      Рассмотрим, например, движение Земли  вокруг Солнца. Так как масса  Земли составляет лишь 1/330 000 массы  Солнца, то центр масс этих  двух тел расположен на расстоянии 150 000 000/330 000 ≈ 500 км от центра  Солнца. Таким образом, центр Солнца описывает вокруг центра масс Солнца и Земли эллипс с большой полуосью, равной примерно 500 км. Эта величина составляет лишь около 1/2800 диаметра Солнца, поскольку диаметр Солнца равен 1,4 млн. км. По сравнению с размерами Солнца и расстоянием между Солцем и Землей такие колебания положения Солнца ничтожны, так что Солнце практически неподвижно.

      Однако при вычислении периода  обращения Земли вокруг Солнца  учет массы Земли необходим.  Если вычислить период обращения  Земли по формулам T2=(4π2a3)/(fM) и T2=(4π2a3)/(f(M+m)), то получим результаты, отличающиеся примерно на 100 секунд. Это вполне заметная величина.