Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Июня 2011 в 17:44, реферат
История вопроса. Понятие хаоса не было в явном виде сформулировано до 1960-х годов, но его истоки можно проследить начиная с последнего десятилетия 19 в., когда появилась удостоенная премии работа французского математика А.Пуанкаре о движении в Солнечной системе.
Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский
Государственный
Университет
Исторический
факультет
Специальность:
документоведение и информационное
обеспечение управления
Кафедра
источниковедения
Реферат
на тему:
Теория
хаоса
Выполнил студент 4 курса, 10 группа
Алексейков
Андрей Константинович
Минск 2009
История вопроса. Понятие хаоса не было в явном виде сформулировано до 1960-х годов, но его истоки можно проследить начиная с последнего десятилетия 19 в., когда появилась удостоенная премии работа французского математика А.Пуанкаре о движении в Солнечной системе.
Сам термин «хаос» ввели Дж.Йорке и Т.Ли в 1975 в краткой статье, посвященной обсуждению некоторых результатов исследований российской школы.
Исследования хаотических систем время от времени появлялись и в литературе по прикладным вопросам. Наиболее известная из таких моделей была введена метеорологом Э.Лоренцем в 1963. Лоренц построил модель конвекции в атмосфере, создав приближения очень сложных уравнений, описывающих это явление, значительно более простыми уравнениями с тремя неизвестными. Численно решая их на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. Лоренц также установил, что если слегка изменять начальные значения переменных, то отклонения будут усиливаться, пока новое решение не окажется совершенно непохожим на исходное. Описание им этого явления в последующих лекциях привело к популярному ныне выражению «эффект бабочки»: взмах крыла бабочки может изменить погоду.
ТЕОРИЯ ХАОСА - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.
Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.
Пример хаотического поведения из повседневной жизни – движение жидкости в миксере.
Основные принципы. Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет «разделить на два». Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность.
Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. По простому, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.
Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.
Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы – это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.
Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.
Фактически все, что кажется случайным и неправильным может быть фракталом, например, облака, деревья, изгибы рек, биения сердца, популяции и миграции животных или языки пламени.
К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.
Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение периодических точек.
Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.
Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, однако затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости, происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу.
С
помощью теории бифуркаций можно
предсказать характер движения, возникающего
при переходе системы в качественно
иное состояние, а также область
существования системы и
Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно.
Примеры приложений. Теория хаоса находит приложения в широком спектре наук. Одним из самых ранних стало ее применение к анализу турбулентности в жидкости. Ранняя работа Э.Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом состоянии подвержены «эффекту бабочки», так что погода обычно не может быть предсказана более чем на четыре или пять дней вперед – независимо от мощности используемых компьютеров.
Движение в Солнечной системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов лет, прежде чем какое-то изменение станет непредсказуемым. Хаос проявляет себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном.
Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.
Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и обнаружения скрытых закономерностей там, где прежде систему считали случайной и никаких закономерностей в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует.
К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит «хаотическое управление». В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.
Теория
хаоса представляет собой сегодня
ту основную область точных наук, достижения
которой представители социальных наук
интегрируют в свою теорию и методологию.
Однако, подчеркивают авторы, более существенным
является то, что теория хаоса воспринимается
как средство для объяснения и выявления
многих аспектов неопределенности, нелинейности,
непредсказуемости в поведении социальных
систем.
Источники: