Вероятность случайных событий. Распределение случайных величин

           (2)

     19.4. Перестановки с повторениями. Имеется  объектов, но не все эти объекты разные, среди них имеются одинаковые объекты или неразличимые. Пусть среди объектов объектов 1-го типа, объектов 2-го типа, …, объектов -го типа. Других объектов нет, так что

      .     (3)

     Чему  равно число  разных последовательностей из объектов, которые можно образовать, извлекая их из совокупности в объектов?

     Если  все  объектов были бы разными, например пронумерованы от 1 до , то число разных последовательностей было бы равно . Поскольку имеются неразличимых объектов 1-го типа, то перестановка двух объектов 1-го типа между собой не дает новой последовательности. Это следует учесть. Число перестановок между объектами 1-го типа равно Поэтому за счет неразличимости перестановок между объектами 1-го типа, общее число разных последовательностей уменьшается в раз. Аналогично следует учесть неразличимые перестановки между объектами 2-го типа, их и т.д. Таким образом, число разных перестановок совокупности из объектов, среди которых объектов 1-го типа, объектов 2-ого типа, …, объектов -го типа, равно

      .    (4)

     Из (4) следует при  , то есть при условии что все объекты разные,

           (5)

     - число перестановок разных объектов (или без повторения).

     Из (19.4) можно получить другой частный  случай при  , , :

      ,    (6)

     что позволяет интерпретировать как число перестановок объектов, среди которых объектов 1-го типа и объектов 2-го типа.

     19.5. Размещения с повторениями. Пусть имеется разных объектов , из которых выбирается объект, фиксируется и возвращается обратно. Таким образом извлекается объектов

      .     (7)

     Последовательность (7) называется размещением с повторениями из (элементов) по (местам). Таким образом, в последовательности (7) могут встречаться одинаковые объекты, в отличие от размещения (без повторения), когда объекты извлекаются из исходной совокупности без возвращения.

     Сколькими способами может быть образована последовательность (7) при извлечении с возвращением? Поскольку первый объект может быть выбран способами, второй объект -также способами и т.д., то существует

           (8)

     размещений  из по с повторениями.

     Рассмотрим  такую задачу. Пусть имеется 7 одинаковых разноцветных шариков. Представим себе, что вы, не видя цвета шарика, вытаскиваете наугад 3 из них. Спрашивается, какова вероятность события, что эти три шарика будут красный, оранжевый и желтый. Решение этой задачи основывается на том, что число различных комбинаций трех из семи равно числу сочетаний

                                         (общая формула ).

     Итак, , а интересующая нас комбинация одна из 35 равновозможных. Тогда, вероятность заданного события Р=1/35. 

     Распределения случайных величин 

     Под распределением случайной величины понимается зависимость вероятности от значения величины. Рассмотрим сначала дискретные случайные величины. Здесь необходимо указать следующие возможные варианты.

           1. Равномерное распределение случайной величины. Например, вероятность выпадения грани игральной кости Р=1/N.

           2. Биномиальное распределение  случайной величины. Предполагается, что эксперимент удовлетворяет  следующим условиям:

           а) эксперимент состоит  из конечного числа испытаний;

           б) каждое испытание  имеет два исхода: событие А или событие не А ( );

           в) вероятность события  А, равно как и события , одна и та же Р(А)=р и Р( ) = q =1 - p;

           г) испытания должны быть независимы.

     Пусть случайная величина Х – количество испытаний событий А в испытаниях. В соответствии с законом биномиального распределения вероятность, что событие А в n проведенных испытаниях произойдет Х раз .

     Распределение Пуассона.

     Пусть Х – целая дискретная случайная величина 0 < Х < ¥. Вероятность того, что дискретная целая величина принимает значение Х , где а - некоторая постоянная, имеющая смысл среднего значения случайной величины при данном распределении.

     Два последних распределения представляют интерес для анализа процессов контроля в производстве и работы сферы обслуживания.

     В естествознании, да и в анализе  экономических ситуаций, часто приходится иметь дело с непрерывными случайными величинами. Например, значение скорости молекул газа изменяется по закону случая. Таким образом, скорость молекулы – непрерывная случайная величина. Непрерывные случайные величины принято характеризовать функцией плотности вероятностей. Пусть dP(x) есть вероятность события, что случайная величина принимает значение в интервале от х до х+dx. Функцией плотности вероятности называют (по определению) функцию

      .

     Вероятность события, что случайная величина принимает значение расположенное в интервале от х₁ до х₂, выражается через интеграл

      .

     Очевидно, что функция f(x) должна удовлетворять условию

      .

     Среди часто встречающихся распределений  отметим прежде всего равномерное распределение:

      . 
 

     На  рисунке 1.1. представлен график этой функции.

 

           Рис. 1.2. а) Экспоненциальное распределение

                              б) Гауссово распределение 

           Если равномерное  распределение является модельным, то экспоненциальное и гауссово распределения как бы заданы самой природой, они имеют глубокий физический смысл.

           Существуют и другие распределения случайных величин, которые используются при работе с микростатистиками.

           Поясним сказанное. Отмеченные распределения непрерывных  случайных величин предполагают, что число их точек, а соответственно и число их опытов, на основе которых они реализуются, бесконечно. Реально же мы работаем с микростатистиками (с наборами небольшого числа экспериментальных данных, которые по природе своей - случайные величины). Свойства микростатистик нельзя механически переносить на макростатистики. Математическая статистика – отрасль математики, которая занимается теорией и практическими приложениями законов массовых однородных событий. Мы же здесь рассмотрим естественно-научные аспекты статистики. 

     Статистическая  интерпретация газообразного  состояния

     вещества. 

     Молекулярно-кинетическая теория строения вещества объясняет отличие агрегатных состояний различием характера скрытых внутренних движений частиц тел и их взаимодействия.

     В кристаллическом (твердом) состоянии  взаимодействие частиц настолько сильное, что складывается геометрически закономерное их расположение в пространстве - кристаллическая решетка. Тепловое движение частиц представляет собой колебательные движения около узлов кристаллической решетки. В этом случае абсолютное значение потенциальной энергии частиц решетки превышает значение кинетической.

     В жидком агрегатном состоянии средние значения кинетической и потенциальной энергий частиц сопоставимы по величине, поэтому молекулы ведут «кочевой образ» жизни при сохранении подобия некоторой пространственной структуры (вещество находится как бы в растянутом кристаллическом состоянии).

     В газообразном состоянии вещества его  частицы расположены на расстояниях значительно больших размеров молекул. Поэтому силы взаимодействия молекул газа незначительны, вследствие чего молекулы газа движутся беспорядочно, хаотически. Здесь следует отметить очень важную принципиальную сторону – множественность частиц. При нормальных условиях (давление 760 мм. рт. ст., температура 0^оС) 1 см³ воздуха содержит 2×10¹⁹ молекул. Молекулы сталкиваются между собой, обмениваются состояниями по закону случая. Если внешние воздействия на газ исключить, то он будет находиться в состоянии равновесия, характеризуемом неизменными объемом, давлением и температурой - это состояние статистического равновесия. Молекулы непрерывно движутся. По закону случая изменяются их координаты и скорости, а состояние газа как целого остается неизменным. Возникает странная ситуация, когда прошлое определяет настоящее, а оно, в свою очередь, не определяет будущее. Таким образом, газ представляет собой статистический коллектив огромного числа молекул. Движение каждой отдельной частицы чисто ньютоновское, поэтому теоретически в принципе каждое мгновение состояние газа можно охарактеризовать набором координат и импульсов молекул. Эта информация дает нам представление о микросостоянии газа. Состояние газа как целого (макросостояние) реализуется посредством множества микросостояний. Это множество представляет собой статистический ансамбль.

     Таким образом, фиксируя какое-либо макросостояние газа, мы не можем сказать посредством какого микросостояния оно реализовано. Возникает ситуация информационной неопределенности.

     Число возможных микросостояний, посредством  которых реализуется данное микросостояние, называется термодинамической вероятностью состояния W. В отличие от введенной нами ранее вероятности Р, термодинамическая вероятность W>>1. Но различаться могут не только микросостояния, но и макросостояния газа. Если на газ не оказывают каких-либо воздействий, то с течением времени при любых начальных условиях в нем устанавливается равновесное состояние, характеризующееся равными значениями давления и температуры в разных частях объема. Опыт свидетельствует, что замкнутая система эволюционирует так, что ее термодинамическая вероятность возрастает. Равновесному состоянию соответствует максимальная термодинамическая вероятность и, таким образом, равновесное состояние характеризуется максимальным значением числа микросостояний и термодинамической вероятности.

     Рассмотрим  замкнутую систему, состоящую из двух независимых друг от друга подсистем. Очевидно, энергия Е системы равна сумме энергии подсистем Е₁ и Е₂, а полное число микросостояний систем W равно произведению W₁×W₂, т.е.

                                                          Е=Е₁+Е₂                                                 (6.6)

                                                          W=W₁×W₂                                                                   (6.7)

     На  основе (6.7) можно сформировать аддитивную величину

                                                     lnW= lnW₁+lnW₂

     в полном соответствии с (6.6).

     В физике эту величину принято формировать  в виде

                                                           S=klnW,                                               (6.8)

     где k – постоянная Больцмана. Определенная таким образом характеристика состояния системы (6.8) называется энтропией.