Методы построения «Начал» Евклида, проблема пятого постулата и создание неевклидовой геометрии

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Октября 2011 в 16:32, доклад

Описание

Основное сочинение Евклида называется «Начала» (датируется . 300 г. до н. э.). Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии.

Работа состоит из  1 файл

Реферат По Евклиду.docx

— 29.93 Кб (Скачать документ)

    Методы  построения «Начал»  Евклида, проблема пятого постулата и создание неевклидовой геометрии. 

      Основное  сочинение Евклида называется «Начала» (датируется . 300 г. до н. э.). Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

      В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

      В I книге изучаются свойства треугольников  и параллелограммов; эту книгу  венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников.

      Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена  так называемой «геометрической  алгебре».

      В III и IV книгах излагается геометрия  окружностей, а также вписанных  и описанных многоугольников; при  работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями  Гиппократа Хиосского.

      В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур.

      VII—IX книги посвящены теории чисел  и восходят к пифагорейцам; автором  VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел.

      В X книге, представляющей собой самую  объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский.

      XI книга содержит основы стереометрии.

      В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов  пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский.

      Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана  Теэтетом Афинским.

     Рассмотрим поподробнее первую книгу, т.к. здесь формулируются пять геометрических постулатов. Вот первые четыре:

  1. Чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию;
  2. Чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неограниченно;
  3. Чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;
  4. Чтобы все прямые углы были равны между собой.

    Все четыре постулата очень просты по содержанию. Евклид постулирует здесь  абсолютно естественные, понятные истины. Все хорошо. И … . Следует пятый постулат.

                                 ФОРМУЛИРОВКА V ПОСТУЛАТА

    Вот о чем говорится в пятом  постулате:

    Если  две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 180°; рис. 1), то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°). 

                                           

                                                          рис. 1 

    Данное  утверждение заметно сложнее  остальных аксиом. Потому-то в современных  учебниках его обычно заменяют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне ее точку можно провести не более одной параллельной прямой. Но дело не только в сложности формулировки. Очень не легко убедить критически настроенного человека в том, что это утверждение достаточно обоснованно.

    Вообразим, что мы взяли две точки А и В на расстоянии 1 м друг от друга и провели через них две прямые а и в, причем так, что а образует с прямой АВ угол а=90, а угол между прямыми в и АВ равен 89'59'59". Иначе говоря, сумма двух внутренних односторонних углов а и в всего на 1 угловую секунду меньше 180. Продолжим прямые а и в, пока они не пересекутся в точке С. В результате получится прямоугольный треугольник АВС, у которого угол А прямой, угол при вершине С равен y и составляет 1 угловую секунду. Катет АС этого треугольника имеет длину  приблизительно 206 км (на самом деле немного больше).

    Угол  в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например, при астрономических расчетах). Но проверить, что указанные выше прямые а и в пересекаются на расстоянии 206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку более 200 км не представляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо добавить еще один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже не геометрия, а физика). А если сумма углов а и вотличается от 180° еще менее чем на 1 угловую секунду?! Как видите, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен.

    Сложность формулировки пятого постулата и  его неубедительность привели к  тому, что очень многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более  простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал".  

    ГАУСС

    Гаусс обратился к теории параллельных в 1792 г. Сначала он надеялся доказать пятый постулат, но затем пришел к мысли о построении новой геометрии, которую назвал неевклидовой. В 1817 г. в одном из писем признался: "Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана". Но обнародовать эти идеи он не решился из боязни быть непонятым. Гаусс не опубликовал ни один из своих результатов, хотя из его писем и личных бумаг видно, что он разработал основные положения неевклидовой геометрии.

    БОЛЬЯЙ

    Творцом новой геометрии стал так же и  венгерский математик Янош Больяй (1802 - 1860). В отличие от Гаусса он стремился распространить свои идеи, но большинство математиков тогда еще не были готовы их воспринять.

    Результаты  Яноша Больяя были сжато изложены в 1832 г. в приложении книге его отца.

 

 ЛОБАЧЕВСКИЙ

    В начале ХIX в. в "сражение" с пятым постулатом вступил русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. В начале Лобачевский шел тем же путем, что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию и этим противоречием он и будет доказан.

    В процессе исследований Лобачевского осенила  гениальная догадка: противоречия никогда не будет! Иначе говоря, если мы добавляем ко всем прочим аксиомам ещё и пятый постулат, то получается не противоречивая геометрическая система - та евклидова геометрия, к которой мы так привыкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, т.е. аксиому о том, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, параллельной денной, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её "воображаемой" геометрией), которая, однако, тоже не противоречива.

    Лобачевский рассмотрел в пространстве пучок  параллельных прямых и поверхности, ортогональные прямым пучкам. Такие поверхности - орисферы - обладают замечательными свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий на этой поверхности. А потому можно рассматривать треугольники, образованные тремя орициклами на орисфере.

    Оказалось, что в геометрии на орисфере сумма  углов любого треугольника равна 180 градусов. То есть для орициклов на орисфере справедлив пятый постулат - господствует геометрия Евклида. Другими словами, из материала своей "воображаемой" геометрии Лобачевский сумел построить модель геометрии Евклида. Гениальный ученый понимал: создай он из материала евклидовой геометрии (в непротиворечивости которой никто не сомневался) модель собственной "воображаемой" геометрии - и законность его геометрической системы установлена. Это сделали математики уже следующего поколения.

    Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель геометрии. В 1868 году (через 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность  называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует  геометрия Лобачевского!                                              

    В наше время любой грамотный человек  знает, что есть такая странная неевклидова геометрия - геометрия Лобачевского. Она была создана нашим соотечественником - Николаем Ивановичем Лобачевским. Её открытие и революционная идея о том, что возможны разные и равноправные геометрии, произвели переворот не только в математике, но и в представлениях людей об окружающем мире. И тем не менее в повседневной жизни и даже на уроках геометрии в школе нам не приходится с ней сталкиваться, поэтому не все представляют себе, что же на самом деле придумал Лобачевский. А между тем одну из неевклидовых геометрий ко времени открытия Лобачевского давно знали и хорошо изучили. (Речь идёт о сферической геометрии, в которой рассматриваются фигуры на сфере и соотношения между ними.)

                                          Заключение 

    В 1829 году журнал "Казанский вестник" опубликовал сочинение Лобачевского о неевклидовой геометрии. Работа называлась "О началах геометрии". В  отзыве на него известный математик  академик М. В. Остроградский писал: "Автор, по-видимому, задался целью писать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг своей цели: большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее". Затем он развивал эти идеи во многих трудах, издававшихся не только на русском, но и на французском и немецком языках.

    Открытия  Гаусса, Лобачевского, Римана знаменовали  собой революцию в области  человеческой мысли - преобразование физических воззрений на пространство и время. Уже в начале ХХв в трудах А. Эйнштейна, А. Пуанкаре, Г. Минковского была создана специальная теория относительности, а так же установлена её связь с геометрией Лобачевского. В 1916 году Эйнштейн построил общую теорию относительности, основываясь на внутренней геометрии поверхностей.

    Значение  пятого постулата невозможно переоценить, так как без него не обошлась бы ни одна из двух известных нам геометрий. Если бы пятый постулат не рассмотрели  ученые, то не было бы такого величайшего  открытия, ведь с помощью неевклидовой геометрии люди получили новое представление  о пространстве. Именно с пятого постулата все началось: он - точка  отсчета, двигатель науки.  

Информация о работе Методы построения «Начал» Евклида, проблема пятого постулата и создание неевклидовой геометрии