Метод парных сравнений

Метод парных сравнений

Метод предусматривает использование  эксперта, который проводит оценку целей. Z₁, Z₂, ...,Zn.

Согласно методу осуществляются парные сравнения целей во всех возможных  сочетаниях. В каждой паре выделяется наиболее предпочтительная цель. И  это предпочтение выражается с помощью  оценки по какой-либо шкале. Обработка  матрицы оценок позволяет найти  веса целей, характеризующие их относительную  важность. Одна из возможных модификаций  метода состоит в следующем:

1. составляется матрица бинарных предпочтений, в которой предпочтение целей выражается с помощью булевых переменных;
2. определяется цена каждой цели путем суммирования булевых переменных по соответствующей строке матрицы.

Примеp₁:

эксперт проводит оценку 4-х  целей, которые связаны с решением транспортной проблемы.

Z₁ — построить метрополитен

Z₂ — приобрести 2-хэтажный автобус

Z₃ — расширить транспортную сеть

Z₄ — ввести скоростной трамвай

1. Составим матрицу бинарных предпочтений:

Zi / Zj	Z1	Z2	Z3	Z4
Z1		1	1	1
Z2	0		0	0
Z3	0	1		1
Z4	0	1	0

2. Определим цену каждой цели (складываем по строкам)

C₁=3; C₂=0; C₃=2; C₄=1

Эти числа уже характеризуют  важность объектов. Нормируем, т.к. этими  числами не удобно пользоваться.

3. Исковые веса целей.

V₁=3/6=0,5 ; V₂=0; V₃=0,17

Проверка:

Получаем следовательно  порядок предпочтения целей:

Z₁, Z₃, Z₄, Z₂

Примеp₂:

cумма всех V_i=1, значит решено верно.

Белорусские авиалинии «Белавиа» получили возможность приобрести самолет Боинг 747 — встал вопрос об открытии нового чартерного рейса. Были предложены направления:

1. Лондон
2. Пекин
3. Сеул
4. Владивосток
5. Тель-Авив

Zi / Zj	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5
Z1		1	1	1	1
Z2	0		0	0	0
Z3	0	1		1	1
Z4	0	1	0		1
Z5	0	1	0	0

Где Z_1...j — направления

Определить наиболее выгодный рейс.

Решение:

void main(void)

{

//Введем исходную матрицу бинарных  предпочтений

for(i=1;i<5;i++) Predpochtenia[0][i]=1;

Predpochtenia[1][0]=0;

for(i=2;i<5;i++) Predpochtenia[1][i]=0;

Predpochtenia[2][0]=0;

Predpochtenia[2][1]=1;

......

//Определим цену каждой цели

int c[5];

for(i=0;i<5;i++) c[i]=0;

for(i=0;i<5;i++)

{

for(j=0;j<5;j++)

{

if(i!=j)

{

c[i]+=Predpochtenia[i][j];

}

}

}

//Определяем веса целей

int sum=0;

for(i=0;i<5;i++)

{

sum+=c[i];

}

double v[5][2];

for(i=0;i<5;i++)

{

v[i][0]=double(c[i])/double(sum);

v[i][1]=i+1;

}

//Далее надо отсортировать цели  по возрастанию

for(i=0;i<5;i++)

{

for(j=1;j<5;j++)

if(v[i][0] < v[j][0] && i 
{

........

}

}

Результат:

0,4 0 0,3 0,2 0,1

1 3 4 5 2

Вывод: Наиболее выгодный рейс — рейс номер 1, т.к. искомый вес целей самый большой: 0,4.

3.1. Матрица парных сравнений

Основным  элементом для представления  интенсивности взаимовлияния объектов в МАИ является матрица парных сравнений. Объекты, находящиеся на одном уровне обладают одинаковыми  наборами показателей. Значения этих показателей  для каждого объекта различные. Конечной целью сравнения объектов – выяснить их рейтинг среди рассматриваемого множества, причем, рейтинг стремятся получить в виде количественной индивидуальной оценки. Решение задачи в методе анализа иерархий осуществляется снизу вверх. Сначала рассматривают объекты, находящиеся на самом нижнем уровне (альтернативы) и попарно сравнивают друг с другом. При сравнении пары объектов исследователь стремится установить насколько один объект лучше (хуже) другого, что выражается установлением количественной оценки, взятой из таблицы  (таблица 3). Просмотрев все сочетания возможных пар объектов, и установив между ними оценки взаимного влияния, исследователь получает матрицу парных сравнений.

Метод парных сравнений (точнее модификацию  по Т. Саати) заключается в сравнении изучаемых объектов (альтернатив, критериев, факторов) между собой. Объекты сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику.

Обозначим через: A1, A2, ...,An основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений, Если обозначить долю фактора Ai через w_i (оценка, которую проставляет ЛПР или эксперт, в соответствии с выбранной шкалой), то элемент матрицы    a_ij= w_i / w_j, которая представлена в таблице 4. Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение, при этом очевидно a_ij= 1/a_ji.                                      

Таблица 4.

Общее представление матрицы парных сравнений
	A1	A2	...	An
A1	1	a12		a1n
A2	a21	1		a2n
...			...
An	an1	an2		1

 

 

Следует отметить, что матрица парных сравнений  в данном случае является положительно определенной, обратно-симметричной матрицей, имеющей ранг равный 1. Особенностью обратно симметричной матрицы парных сравнений является:

a)            на главной диагонали всегда должна стоять оценка равная 1 (равная важность, сравниваемых факторов, объектов, альтернатив), т.е. a_ij = a_ji при i=j;

b)            всегда должно выдерживаться соотношение, отвечающее условию: если при сравнении  i-го объекта с j-м объектом ставится оценка a_ij, то при сравнении j-го объекта с i-м, оценка a_jiдолжна быть обратной a_ij, т.е. a_ji = 1/a_ij.

Работа  экспертов состоит в том, что, производя попарное сравнение факторов A1, ..., An, необходимо заполнить таблицу парных сравнений. Важно понять, что если w₁, w₂, ..., w_nнеизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w.

В подобной постановке задачи решение  проблемы состоит в отыскании  вектора (w₁, w₂, ..., w_n). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора. Каждый из методов позволяет кроме непосредственного нахождения вектора отвечать еще на некоторые дополнительные вопросы (см. следующий раздел). Подчеркнем, что эксперт, сравнивая n факторов, реально проводит n*(n-1)/2 сравнений.