Парная линейная регрессия и корреляция эконометрических исследованиях

2. Оценка существенности  параметров линейной  регрессии и корреляции

     Корреляционный  и регрессионный анализ обычно проводится для ограниченной по объёму совокупности. Поэтому показатели регрессии и  корреляции - параметры уравнения  регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Чтобы проверить, насколько эти показатели характерны для всей генеральной совокупности, не являются ли они результатом стечения случайных обстоятельств, необходимо проверить адекватность построенных статистических моделей.

     После построения уравнения линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения  в целом, так и отдельных его  параметров. Проверить значимость уравнения регрессии - значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

     Методы  оценки тесноты связи подразделяются на корреляционные (параметрические) и непараметрические. Параметрические методы основаны на использовании, как правило, оценок нормального распределения и применяются в случаях, когда изучаемая совокупность состоит из величин, которые подчиняются закону нормального распределения. Непараметрические методы не накладывают ограничений на закон распределения изучаемых величин.³

     При линейной форме уравнения применяется  линейный коэффициент корреляции: 

      , 

     где n - число наблюдений.

     Для практических вычислений при малом  числе наблюдений (n≤20÷30) линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:

      . 

     Значение  линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале: -1≤ r ≤ 1.

     По  степени тесноты связи различают  количественные критерии оценки тесноты  связи. Оценка линейного коэффициента корреляции может быть произведена по таблице 1, либо укрупненно по таблице 2. 

     Таблица 1 Количественные критерии оценки тесноты  связи

 

     Таблица 2 Укрупненные критерии оценки тесноты связи

 

     Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные - на прямую. При r = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при r = ±1 - связь функциональная.

     По  направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака.

     По  аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные и криволинейные. Если статистическая связь между  явлениями может быть приближенно  выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, показательной и др.), то такую связь называют криволинейной.

     Графически  взаимосвязь двух признаков отображается с помощью поля корреляции. В системе  координат по оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат - результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначается точкой. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи.

     Квадрат линейного коэффициента корреляции r² называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ r² ≤ 1. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

     Факт  совпадений и несовпадений значений теоретического корреляционного отношения η и линейного коэффициента корреляции r используется для оценки формы связи.

     Для оценки значимости коэффициента корреляции r используют t-критерий Стьюдента, который применяется при t-распределении, отличном от нормального.

     При линейной однофакторной связи t-критерий можно рассчитать по формуле: 

      , 

     где (n - 2) - число степеней свободы при заданном уровне значимости α и объеме выборки n.

     Полученное  значение t_расч сравнивают с табличным значением t-критерия (для α = 0,05 и 0,01). Если рассчитанное значение t_расч превосходит табличное значение критерия t_табл, то практически невероятно, что найденное значение обусловлено только случайными колебаниями (то есть отклоняется гипотеза о его случайности).

     Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

     Величина F-отношения (F-критерий) получается при сопоставлении факторной и остаточной дисперсии в расчете на одну степень свободы. 

     F = D_факт / D_ост. 

     F-критерий  проверки для нулевой гипотезы  Н₀: D_факт = D_ост.

     Если  нулевая гипотеза справедлива, то факторная  и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н₀ необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при разных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия - это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признается достоверным (отличным от 1), если оно больше табличного. В этом случае нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи: F_факт > F_табл Н₀ отклоняется.

     Если  же величина оказалась меньше табличной F_факт < F_табл, то вероятность нулевой гипотезы меньше заданного уровня (например, 0, 05) и она не может быть отклонена без серьезного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым и не отклоняется.

     Значимость  коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют  расчетные (фактические) значения t-критерия:

     для параметра a₀ : 

      , 

     для параметра a₁ : 

      .

     Среднее квадратическое отклонение результативного  признака от выравненных значений ŷ ; 

      . 

     где n - объём выборки.

     Среднее квадратическое отклонение факторного признака x от общей средней : 

       или  . 

     Вычисленные по вышеприведенным формулам значения сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числом степеней свободы вариации . В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным 0,05. Параметр признаётся значимым (существенным) при условии, если t_расч> t_табл. В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

     Проверка  адекватности регрессионной модели может быть дополнена корреляционным анализом. Для этого необходимо определить тесноту  корреляционной связи между переменными х и у. Теснота корреляционной связи, как и любой другой, может быть измерена эмпирическим корреляционным отношением η_э, когда δ² (межгрупповая дисперсия) характеризует отклонения групповых средних результативного признака от общей средней:

      . 

     Говоря  о корреляционном отношении как о показателе измерения тесноты зависимости, следует отличать от эмпирического корреляционного отношения - теоретическое.

     Теоретическое корреляционное отношение η представляет собой относительную величину, получающуюся в результате сравнения среднего квадратического отклонения выравненных значений результативного признака δ, то есть рассчитанных по уравнению регрессии, со средним квадратическим отношением эмпирических (фактических) значений результативности признака σ: 

      ,

     где:

      ; .

     Тогда:

      . 

     Изменение значения η объясняется влиянием факторного признака.

     В основе расчёта корреляционного  отношения лежит правило сложения дисперсий, то есть , где - отражает вариацию у за счёт всех остальных факторов, кроме х , то есть являются остаточной дисперсией: 

      .

     Тогда формула теоретического корреляционного  отношения примет вид: 

      , 

     или  

      . 

     Подкоренное выражение корреляционного выражения  представляет собой коэффициент  детерминации (мера определенности, причинности).

     Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака-фактора.

     Теоретическое корреляционное выражение применяется  для измерения тесноты связи  при линейной и криволинейной  зависимостях между результативным и факторным признаком.

     Как видно из вышеприведенных формул корреляционное отношение может находиться от 0 до 1. Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем связь между признаками теснее.

     Проверка  значимости уравнения регрессии  производится на основе дисперсионного анализа. В математической статистике дисперсионный анализ рассмотрен как  самостоятельный инструмент (метод) статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества модели. Центральное место в анализе дисперсии занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения у на две части - «объясненную» и «необъясненную»⁴: