Производная в задачах экономики

    Производная в задачах экономики

1. Понятие производной.

    При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с  помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x).

    Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием.

    Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.  (                                     )

2. Применение производной в экономике.

    В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем.

    Предельные  или пограничные величины характеризуют  не состояние (как суммарная или  средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

    Надо  заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

    Нетрудно заметить, что многие, в том числе базовые законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

    Один  из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя  уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

    То  есть уровень выпуска Qo является оптимальным  для производителя, если MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

    Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда  П(Q) = R(Q) — C(Q), где R(Q) – прибыль, а C(Q) – общие издержки производства.

    Оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0. Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

    3. Использование производной  для решения задач  по экономической  теории.

    Задача 1.

    Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

    К=-х³+98х²+200х. Удельные затраты составят К/х=-х²+98х+200

    Обозначим К/х за y .Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции y= -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

    Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

    f(20)=1760

    f(49)=2601

    f(90)=320.

    Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента  в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при  выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

    Задача 2.

    Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x³+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

    Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

    Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х=100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

3. Заключение.

    Производная находит широкое приложение в  физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.

    Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

    Наиболее  актуально использование производной  в предельном анализе, то есть при  исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

    Производная применяется в экономической  теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются  прямыми следствиями математических теорем.

    Знание  производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии.