Традиционный анализ Курно

ТРАДИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КУРНО

Теперь мы проанализируем однопериодную игру, при которой фирмы выбирают количества (подразумеваются их мощности) одновременно. Мы будем использовать или общую редуцированную форму функции прибыли U'(qi,qj), или более специфицированную точную форму Курно:

Каждая фирма  максимизирует свою прибыль при данном количестве, выбранном другой фирмой. Предполагая, что функция прибыли П' строго вогнута по ql и дважды дифференцируема, мы получим

qi = R M j ) , (5.4)

где R — кривая реагирования фирмы:

 

Во введении ко II части указывалось: если мы предположим, что предельная прибыль фирмы г снижается вместе с объемом выпуска другой фирмы, тогда функции реагирования будут нисходящими. Количество, соответствующее равновесному состоянию, показано на рис. 5.5 пересечением двух кривых реагирования. Конечно, подобное пересечение не обязательно единственно; в этом случае мы получим множество состояний равновесия.

Для большей  конкретизации рассмотрим условие  первого порядка максимизации прибыли  для точной формы Курно:

 

 

Его интерпретация  проста. Первые два члена определяют прибыль от дополнительной единицы  выпуска, которая равна разнице  между ценой и предельными затратами. Третий член показывает влияние этой дополнительной единицы на прибыль от допредельных единиц. Дополнительные единицы снижают цену Р', что влияет на qi уже произведенных единиц. Уравнение (5.5) похоже на формулы, полученные для конкурентных фирм и монополии. В случае конкурентной фирмы нет третьего члена, так как фирма слишком мала, чтобы повлиять на рыночную цену; для монополии qi равно выпуску отрасли.

Предшествующее  сравнение фактически иллюстрирует отрицательный в н е ш н и й э ф ф е к т между двумя фирмами: определяя свой выпуск, фирма г принимает во внимание скорее обратный эффект изменения рыночной цены на ее собственный выпуск, чем влияние его на совокупный выпуск. Отсюда — каждая фирма, определяя свой выпуск, будет завышать его относительно оптимального с точки зрения отрасли (но не с точки зрения благосостояния).14 Таким образом, р ы н о ч н а я ц е н а б у д е т н и ж е , ч е м м о н о п о л ь н а я ц е н а , а с о в о к у п н а я п р и б ы л ь б у д е т н и ж е , ч е м м о н о п о л ь н а я п р и б ы л ь . Другим интересным следствием уравнения (5.5) является то, что равновесие Курно не уравнивает предельные затраты, за исключением случая симметрии. Не только производится слишком мало, но и з а т р а т ы п р о и з в о д с т в а о т р а с л и н е м и н и м и з и р о в а н ы .

Уравнение (5.5) может быть переписано так:

есть индекс Лернера (маржа прибыли в цене) для фирмы г;

 

есть рыночная доля фирмы г (Q = qi -j- q } ) и

 

есть эластичность спроса. Таким образом, индекс Лернера пропорционален рыночной доле фирмы и обратно пропорционален эластичности спроса. Этот индекс положителен — т. е. фирмы продают по ценам, превышающим их предельные затраты. Таким образом, равновесие Курно не является общественно эффективным.

Техническое замечание относительно вогнутости целевой функции фирмы и знака перекрестной частной производной: из уравнения (5.5) мы получаем

ПЪ = Р' + 9гР". (5.8)

Вспомним, что  Р' < 0. Чтобы целевая функция была вогнута (П^г < 0), достаточно, чтобы функция затрат фирмы была выпукла (С-' > Q) и чтобы обратная функция спроса была вогнута (Р" < 0). Последнего утверждения достаточно, чтобы количества являлись стратегическими субститутами (П'-'j < 0). Эти два утверждения справедливы, например, в случае линейного спроса (Р" = 0) и постоянной отдачи от масштаба (С" = 0). Более полно о вогнутости целевой функции и существовании равновесия Курно см. в разделе 5.7.

Равновесие  Курно легко получить в случае линейности спроса и затрат.

Предположим, что D(p) = 1 - р (или P(Q) = 1 - Q) и С,-(д,) = С;?;. Тогда функции реагирования будут

 

Отсюда равновесие Курно задается

 

и прибыль  составит

 

Выпуск фирмы  убывает вместе с предельными  затратами. Еще более интересно, что он возрастает вместе с предельными затратами конкурентов; это происходит потому, что более высокое Cj заставляет фирму j производить меньше, а это увеличивает остаточный спрос фирмы г, поощряя последнюю производить больше.

То, что выпуск фирмы убывает с ее предельными  затратами и возрастает с предельными затратами ее конкурента, может быть достигнуто при более общих функциях спроса и затрат, пока удовлетворяются следующие два условия:

а) кривые реагирования являются нисходящими (когда количества — стратегические субституты) и  б) кривые реагирования пересекаются только один раз (здесь существует единственное равновесие Курно), а угол наклона R2 в пространстве (91,92) меньше по своему абсолютному значению, чем угол наклона V5.

Легко представить, что увеличение предельных затрат фирмы  смещает ее кривую реагирования вниз. Чтобы доказать это, вернемся к главе 1, где говорится, что цена монополиста (соответственно количество) увеличивается (соответственно падает) вместе с предельными затратами фирмы. Но при дуополии при данном выпуске щ фирма г является монополистом на кривой остаточного спроса P ( - + q j ) . Отсюда в соответствии с доказательством главы 1 оптимальный выпуск фирмы i при данном qj является убывающей (точнее, невозрастающей) функцией предельных затрат фирмы г. Этот вывод является достаточно общим; условия, такие как а и б, не требуются. (В качестве упражнения читателю рекомендуется еще раз повторить аргументацию).

 

 

 

 

Рис. 5.6 отображает кривую реагирования, удовлетворяющую условиям а и б, и показывает влияние увеличения предельных затрат фирмы 1. Равновесный выпуск фирмы 1 сокращается, в то время как выпуск фирмы 2 увеличивается.

Выводы прямо  обобщаются на случай с п фирмами. Пусть

Уравнение (5.5) принимает тогда следующий j вид:

 

Индекс Лернера для фирмы г все еще равен отношению ее рыночной доли к эластичности спроса. Например, в случае симметрии с линейными затратами и спросом

 

для всех г (при с < 1) уравнение (5.9) принимает вид

 

Равновесие  симметрично для этой симметричной модели: Q = n q , где q —выпуск каждой фирмы. Отсюда мы получаем

 

 

 

 

 

Рыночная  цена и прибыль каждой фирмы снижаются  с числом фирм. К тому же, так как рыночная цена снижается с п, совокупная прибыль есть пП. Конечно, к о г д а ч и с л о ф и р м с т а н о в и т с я с л и ш к о м б о л ь ш и м ( п —* оо) , р ы н о ч н а я цена п р и б л и ж а е т с я к к о н к у р е н т н о й ц е н е с . Таким образом, равновесие Курно при большом количестве фирм является приблизительно конкурентным. Это естественно, так как каждая фирма имеет слишком слабое влияние на цену и, таким образом, действует почти как ценополучатель (price taker).

В разделе 5.7 см. более подробно о приближении  к конкурентному равновесию и  обсуждение существования и единственности равновесия Курно.

 

ИНДЕКСЫ КОНЦЕНТРАЦИИ И ПРИБЫЛЬНОСТЬ ОТРАСЛИ

Модель Бертрана и модель Курно являются основными моделями неповторяющегося взаимодействия олигополистов, производящих одинаковый товар.

Как и те модели, о которых будет рассказано в следующих главах, они представляют цены, количества, прибыли и потребительский  излишек как функции структуры затрат, спроса, а также числа фирм (пока последняя переменная не становится эндогенной из-за решения войти в отрасль, как в главе 7). На практике наблюдение рыночной цены (если таковое имеет место) мало говорит о конкурентности соответствующей отрасли, пока мы не исследуем цены в отраслях со схожими структурами затрат (к примеру, различные географические рынки), или пока не рассмотрим временную модель отраслевой цены (см. главу 6), или пока не сможем с точностью измерить предельные затраты фирмы. Наиболее информативные переменные — это уровень прибыли и доля фирм на рынке.

Экономисты, занимающиеся организацией промышленности, долгое время пытались привести распределение рыночных долей фирм к единому индексу, с тем чтобы использовать его в эконометрическом и антитрестовском анализе.

Такой совокупный индекс называется и н д е к с о м к о н ц е н т р а ц и и . При а; =

 

обозначающем  рыночную долю фирмы i (где i = 1 , . . . , п и Qi = 1)>

возможны следующие индексы концентрации:

• у р о в е н ь к о н ц е н т р а ц и и тп ф и р м (при m < п), который определяется суммой m самых больших долей в отрасли:

 

Конечно, такие  индексы должны быть связаны с  нашим представлением о концентрации. Энкаоуа и Жакемин [21] предлагают аксиоматический вывод индекса «допустимой» концентрации. Они требуют, чтобы индекс концентрации R ( a x , . . . , а п ) удовлетворял следующим особенностям: он должен быть симметричным относительно фирм (инвариантным перестановкам рыночных долей фирм); он должен удовлетворять условию Лоренца, согласно которому распространение (т. е. дальнейшее увеличение распределения рыночных долей к его хвосту) увеличивает R; и концентрация симметричных фирм должна уменьшаться, когда число фирм возрастает с п до п + 1:

 

Они показали, что совокупность индексов концентрации, удовлетворяющая этим требованиям, принимает форму

 

 

где h — произвольная неубывающая функция, такая, что ah(a) выпукла. Индекс Херфиндаля и индекс энтропии — два таких индекса концентрации (при h(a) = а и h(a) = In а соответственно). Уровень концентрации т фирм удовлетворяет этим требованиям, хотя и не принадлежит их семейству.

Хотя предыдущие требования вполне резонны, они не дают нам представления о том, как  использовать индексы концентрации. Представляют ли они полезную экономическую  переменную для измерения или  политической оценки?

Одна из возможностей состоит в том, что они связаны  с прибыльностью отрасли. Действительно, Бэйн [3, 4] предположил, что концентрация облегчает сговор между фирмами и увеличивает прибыли отрасли. С этой точки зрения мы не можем оценивать (в основном динамическую) часть сговоров, но мы вполне можем увидеть связь между концентрацией и прибылью отрасли в свете статических моделей Бертрана и Курно. Большинство перекрестных исследований фактически сосредоточивается на взаимосвязи между индексами концентрации и прибыльностью.

Сначала рассмотрим с и м м е т р и ч н ы е фирмы с одинаковыми рыночными долями. Единственной разумной мерой концентрации тогда будет эквивалент числа фирм в отрасли (т. е. индексы концентрации, убывающие с числом фирм в отрасли, например R m = m / n , R n = l / n , R e = 1п(1/те)). Согласно модели Бертрана, рыночная цена и прибыли отрасли не связаны с числом фирм в ней.

Таким образом, прибыльность и концентрация не связаны между собой. Однако модель Курно показывает отрицательную корреляцию между числом фирм и прибыльностью (см. раздел 5.4).

Когда фирмы  имеют а с и м м е т р и ч н ы е рыночные доли (скажем, из-за разницы в затратах), то более не существует однозначной оценки концентрации. В некоторых простых случаях можно увидеть, что прибыльность отрасли связана с простым индексом концентрации. Например, Коулинг и Уотерсон [11] предположили, что фирмы имеют неизменные предельные затраты ) = сг<?, и ведут количественную конкуренцию. Прибыли отрасли тогда

 

где используется выражение (5.6) для индекса Лернера. Далее предположим, что потребители тратят фиксированную величину дохода на товар, т. е. эластичность, £, их спроса равна 1: Q = к / р , где к — положительная константа.

Тогда мы получаем

 

Таким образом, индекс Херфиндаля дает точную меру (с точностью до пропорциональной константы) отраслевой прибыльности.

 

Если фирмы  определяют свои мощности прежде, чем  начнут ценовую конкуренцию, то, согласно сильным допущениям, они ex post выберут ту цену, которую бы назначил аукционист, чтобы очистить рынок (т. е. чтобы привести спрос в соответствие с мощностями). Этот результат дает несколько обоснований модели Курно, при которой фирмы определяют объем выпуска, а аукционист затем назначает цену, очищающую рынок, поскольку количества определяются как мощности. Таким образом, модели Бертрана и Курно не следует рассматривать как две конкурирующие модели, делая противоречивые прогнозы относительно исхода конкуренции на данном рынке. (Кроме того, фирмы почти всегда ведут ценовую конкуренцию). Эти модели скорее предназначены для того, чтобы представить рынки с различными структурами затрат. Модель Бертрана близка отраслям с почти неизменными предельными затратами, а модель Курно, возможно, более соответствует отраслям с резко возрастающими предельными затратами.

Следует быть осторожными, объясняя в модели Курно существование ограничения в мощностях. Правильность обоснования следует проверить для каждой отдельной модели. И в заключение: количественную конкуренцию в целом можно рассматривать как конкуренцию в выборе масштаба, где выбор фирмой масштаба определяет функцию ее затрат и, таким образом, условия ценовой конкуренции.