Добыча ресурса монополистом с влиянием на доходность нересурсных активов

 

(27) 

 

(28) 

 

(29) 

 

В дополнение к этим трем дифференциальным уравнениям в c (t), W (t) и q (t), у нас есть одно начальное условие . Начальное значение q (0) должна быть выбрано так, чтобы нехватка ресурсов имело место равенство с достаточно больших t. Легко видеть, что ресурс рано или поздно должен быть полностью исчерпан: с тех пор r'(x)>0, q(t) всегда растет с уровнем не ниже чем r (0)>0 (см. (29)). Но из определения х(W,q), а также учитывая тот факт, что может быть всегда только положительным, если W (t) постоянно растет. Такое развитие W (t), очевидно, неэффективно и означает, что добыча ресурсов рано или поздно останавливается. c(0) должен быть выбран так, чтобы соответствующее решение траектории времени из уравнений (27) - (29) удовлетворяло и было эффективно (то есть не должно допускать роста W(t)).

Рассмотрим сначала  развитие c (t) и W (t), после исчерпания ресурса. При х = 0 следует из (4), (27) и (28) что

 

(30) 

 

(31)  .

 

Оптимальное развитие c (t) и W (t) показано на фазовой диаграмме рисунка 2. В момент истощения (скажем, t=T), W (t) определяется (= ). Для в момент времени t = T, W(t) в конечном счете станет отрицательным, и должен тогда продолжить уменьшаться (даже если c(t) =0) так, что будет нарушено. Для в момент времени t = T, W(t) в конечном счете начнет расти, и затем постоянно будет увеличиваться. Такое развитие W (т), очевидно, неэффективно.

Обратимся теперь к развитию c(t), W(t) и х(t), прежде чем ресурс исчерпан. Всякий раз, когда x (t)> 0, получается из уравнения (17), которое справедливо и в данном случае. Начиная с , очевидно, из (17), что уровень добычи ресурсов снизится

Рис. 2

 

(и увеличиваются цены на ресурс), всякий раз как . Когда , знак зависит от того, как большой . Более точно мы имеем

 

(32) 

 

Докажем, что  для некоторого . Из уравнения (32), и (28)  мы видим, что

 

(А1) 

 

Но вывод уравнения (15) имеет  место и в данном случае (с заменой на c(t)), то есть

 

(А2)  .

 

На рисунке 2. видно, что в долгосрочном периоде мы должны иметь .  Но когда Z(t)>c(t), для некоторого t (см. А1.), это видно из (А2), что , если только для некоторого .

Поскольку , то ясно, что является необходимым условием для . В предыдущем разделе мы видели, что , когда с была постоянной. Интуитивно, мы поэтому ожидали бы, что более высокий темп роста финансового богатства ( ) будет сопровождаться повышением уровня потребления. В приложении доказано, что это предположение, основанное на интуиции верно: для некоторого - это необходимое условие для

Результат выше показывает, что возможен. Тем не менее, рассмотрим случай, когда для всех соответствующих значений х. Тогда мы знаем что для всех t (см. (27)). Поэтому из рассуждений выше мы можем заключить, что уровень добычи ресурсов всегда снижается (и цены на ресурс всегда растут), когда для всех соответствующих значений х. Из уравнения (32) мы знаем, что , и видели что в момент и после истощения ресурса. Во время добычи, однако, нет ничего такого, что могло бы предотвратить признаки изменения в несколько раз. Один из возможных путей развитий c(t) и W(t) в случае для всех соответствующих значений х показан на рисунке 3.

Когда функция  предпочтения дается (20), как видно из (27), что для некоторого t, если , для некоторых соответствующих значений x. В этом случае у нас может быть для некоторого t. Один из возможных путей развития c(t) и W(t) для этого случая для всех соответствующих значений х показан на рисунке 4.: для начала (в A), и x(t), c(t) и W(t) уменьшаются. Снижение c(t) заставляет W(t) увеличиваться через некоторое время (см. (28)), и вскоре W(t) растет так быстро, что x(t) начинает повышаться, (см. (32)), делая в B (см. (27)). После B, c(t) начинает расти, замедляя рост W (t) (см. (27)), и в конечном счете заставляет x(t) уменьшаться снова (см. (32)), так, чтобы в C (см. (27)). Высокое значение c(t) в C замедляет рост W(t) (см. (28)), и через некоторое время W(t) может даже уменьшиться снова, давая развитие от C до E, подобно развитию от А до C. После E, х(t) и c(t) оба уменьшаются, с ресурсом не исчерпаны на F.

На рисунке 4, уровень добычи ресурсов сокращается  на A, C и Е, и всех пунктах после, пока не происходит истощение ресурса, в то время как добыча ресурса растет в B и D. Рисунок 4 иллюстрирует один из возможных путей развития c(t) и W(t) с меняющим знак, по крайней мере, однажды. Возможные пути развития с(t) и W(t) должны удовлетворять следующим условиям (см. Приложение для доказательства):

 

(33)    и      учитывая, что  

 

(34)     и   учитывая, что   

 

(35)    для   учитывая, что  

Рис. 3

 

Рис. 4

Докажем уравнения (33)-(35). Когда и , это видно из уравнения (27), что это означает, что (см. 32), тем самым доказывая (33).

Из уравнений (28), (29)  и  (А2) мы имеем

 

.

 

Но из следует что (см. (32)), так что в этом случае должна дать   , что доказывает уравнение (34).

Так как q(t) постоянно растет, то ясно, что для , что означает, что (см. (5)). Но из уравнения (27) мы видим, что это дает , таким образом, доказывая уравнение (35).        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В предисловии  мы уже говорили, что физическое толкование вышеуказанного анализа состоит в том, что это один из аспектов моделирования задачи оптимизации добычи нефти странами ОПЕК. Весь анализ может фактически быть применен к любому ресурсу добываемым монополистом, даже если норма прибыли монополиста по нересурсным активам не зависит от уровня добычи. В этом случае наши предположения должны быть изменены таким образом, что мы получаем для всех , но это не влияет на результаты. Случай, когда r(х) не зависит от х, конечно, означает, что оптимизационная задача по добыче полезных ископаемых может быть отделена от проблемы оптимального развития потребления и запасов нересурсных активов. Случай, когда r(х) не зависит от х подходит также для незначительных ресурсов стран-экспортеров, в этом случае выпуклость R(х) должна быть вызвана выпуклой функцией стоимости добычи.

Расширение вложения нересурсных активов монополистом дает ему дополнительный стимул, чтобы доходность была высокой, выбрав высокий уровень добычи ресурсов. Одним из мотивов предшествующего анализа было исследование, можно ли ожидать, что такая добыча является доминирующей в условиях эффекта Хотеллинга [1931], снижение добычи ресурсов с течением времени. Мы пришли к выводу, что мы можем получить рост уровня добычи ресурсов, если монополист максимизирует обесцененную полезность и полезный учетный процент ниже, чем норма прибыли нересурсных активов будут давать при достаточно большом уровне добычи ресурсов. Однако при максимизации богатства добыча ресурсов будет снижаться во время всего периода добычи.

В случае ОПЕК, мы можем интерпретировать как остаток платежного баланса (или профицит счета текущих операций ОПЕК). Наш анализ продемонстрировал, что платежный баланс может колебаться между профицитом и дефицитом, когда монополист максимизирует обесцененную полезность. В этом случае платежный баланс будет отрицательным, постепенно уменьшая профицит счета операций с капиталом по истечении срока добычи ресурсов. Мы также заметили, что если уровень добычи ресурсов всегда положителен, то это происходит в то время как баланс платежей ОПЕК показал положительное сальдо. В случае максимизации богатства, ОПЕК будет иметь профицит платежного баланса в любой момент добычи ресурсов, а платежный баланс будет равен нулю после этого периода.

Исследуемые модели могут быть расширены или изменены несколькими способами. Одним довольно неудовлетворительным свойством модели является то, что r является функцией, зависящей только от х . Лучше предположить, что , где К совокупность затрат капитала на ресурсы стран-импортеров и F (K, х) представляет собой совокупность производственных функций. Этот капитал может состоять из собственного капитала этих стран (= V), а также из капитала стран-экспортеров (= W), давая K = V + W. Возможное расширение данного анализа будет теперь объяснять развитие V и W в качестве решения дифференциальных игр. Менее удовлетворительным, но, вероятно, более управляемым, было бы дать формированию V (t) некоторые простые правила (например, при ). Это правило можно было бы использовать вместе с остальными в данной модели и получить новое развитие добычи ресурсов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Michael Hoel,  1981,  Resource extraction by a monopolist with influence over thre rate of return on non-resource assets, International economic review vol. 22, no. 1, February, 1981 ,  147-157.
2. Dasgupta, P., R. Eastwood, M. Heal, Resource Management in a Trading Economy, Quarterly Journal of Economics, 92 (May, 1978), 297-306..
3. Dixit, A., P. Hammond, M. Hoel, On Hartwick's Rule for Constant Utility and Regular Maxmin Paths of Capital Accumulation and Resource Depletion, Review of Economic Studies, 47 (1980), 551-556..
4. Lewis, T. R., Monopoly Exploitation of an Exhaustible Resource, Journal of Environmental Economics and Management, 3 (October, 1976), 198-204..
5. Hotelling, H., The Economics of Exhaustible Resources, Journal of Political Economy, 39 (April, 1931), 137-175..