Донской государственный  технический университет

Кафедра «Безопасность жизнедеятельности  и защита окружающей среды»

 
 

Реферат на тему:

«Модель популяции с наименьшей критической численностью» 

Выполнила

ст. гр. БМЗС-61

Саблина А.В.

Проверил

Лазуренко Р.Р. 
 

г. Ростов-на-Дону

2011 г.

Оглавление. 
 

Введение. 3

1. Моделирование как метод познания. Основные определения. 5

2. Основные модели роста популяций. 9

3. Модель популяции с наименьшей критической численностью 15

Заключение. 22

Список литературы. 23 

Введение.

На разных уровнях развития живой материи  продукционные процессы проявляют  себя по-разному, но их феноменологическое описание всегда включает рождение, рост, взаимодействие с внешней средой, в том числе с другими особями  своего вида или других видов, смерть особей. Именно это обстоятельство позволяет применять сходный  математический аппарат для описания моделей роста и развития у  таких, казалось бы, удаленных друг от друга по лестнице уровней организации  живой материи, как клеточная  популяция и сообщество видов  в экосистеме.

 Описание  изменения численности популяции  во времени составляет предмет  популяционной динамики. Популяционная  динамика является частью биологии  математической, наиболее продвинутой  в смысле формального математического  аппарата, своего рода "математическим  полигоном" для проверки теоретических  идей и представлений о законах  роста и эволюции биологических  видов, популяций, сообществ. Возможность  описания популяций различной  биологической природы одинаковыми  математическими соотношениями  обусловлена тем, что с динамической  точки зрения, рост и отбор  организмов в процессе эволюции  происходит по принципу "Кинетического  совершенства" (Шноль, 1979)

 Преимущества  математического анализа любых,  в том числе популяционных,  процессов, очевидны. Математическое  моделирование не только помогает  строго формализовать знания  об объекте, но иногда (при хорошей  изученности объекта) дать количественное  описание процесса, предсказать  его ход и эффективность, дать  рекомендации по оптимизации  управления этим процессом. Это  особенно важно для биологических  процессов, имеющих прикладное  и промышленное значение - биотехнологических  систем, агробиоценозов, эксплуатируемых  природных экосистем, продуктивность  которых определяется закономерностями  роста популяций живых организмов, представляющих собой "продукт" этих биологических систем.

Рассмотрим  понятия «моделирование» и «математическое  моделирование», прежде чем приступим к описанию моделей роста популяций. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Моделирование как метод познания. Основные определения.

Объект  – некоторая часть окружающего нас мира, которая может быть рассмотрена как единое целое. Примеры объектов – дерево, мяч, ПК, программа, сосед за партой. Для идентификации объектов служит имя, определяющее его свойства. Свойство – совокупность признаков объекта, по которым его можно отличить от других объектов. 

Модель – упрощенное подобие реального объекта (процесса), созданного человеком для определенного применения (цели).

Модели  бывают: материальные (натурные) и информационные (описание объекта моделирования в определенной форме), делятся на статические и динамические.

Типы  моделей – табличные  (объекты и их свойства представлены в виде списка, их значения размещаются в ячейках прямоугольной таблицы), иерархические (отражающие процесс классификации – биология, файловая структура…) – вид Граф, сетевые (сложная структура связи между элементами – сотовая телефонная связь,  Интернет).   

Моделирование – это метод  познания, состоящий  в создании иисследование  моделей.     

 Процесс разработки  моделей и их исследование  на компьютере можно разделить  на несколько основных этапов.

На первом этапе  исследования объекта или процесса обычно строится описательная информационная модель. Такая модель выделяет существенные, с точки зрения целей проводимого исследования, параметры объекта, а несущественными параметрами пренебрегает.

На втором этапе  создается формализованная модель, т.е. описательная информационная модель записывается с помощью какого-либо формального языка. В такой модели с помощью формул, уравнений, неравенств и т.д. фиксируются формальные соотношения между начальными и конечными значениями свойств объектов, а также накладываются ограничения на допустимые значения этих свойств.

На третьем  этапе необходимо формализованную  информационную модель преобразовать  в компьютерную модель, т.е. выразить ее на понятном для компьютера языке. Существуют два принципиально различных пути построения компьютерной модели:

·       построение алгоритма решения задачи и его кодирование на одном из языков программирования;

·       построение компьютерной модели с использованием одного из приложений (электронных таблиц, СУБД и т.д.).

Четвертый этап исследования информационной модели состоит  в проведении компьютерного эксперимента. Если компьютерная модель существует в виде программы на одном из языков программирования, ее нужно запустить на выполнение и получить результаты.

Если компьютерная модель исследуется в приложении, например, в электронных таблицах, можно провести сортировку или поиск  данных, построить диаграмму или  график и т.д.

Пятый этап состоит  в анализе полученных результатов и корректировке исследуемой модели. В случае различия результатов, полученных при исследовании информационной модели, с измеряемыми параметрами реальных объектов, можно сделать вывод, что на предыдущих этапах построения модели были допущены ошибки или неточности.  

Метод построения математических моделей — метод математического познания действительности изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех, возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата.

Математическая  модель — это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории (с помощью системы алгебраических уравнений и неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений, векторов и т.п.).[1]

Математическое  моделирование — описание анализируемого объекта внешнего мира с помощью  математической символики.

Как алгоритм математической деятельности метод математического  моделирования содержит три этапа:

1. построение математической модели объекта (явления, процесса);
2. исследование полученной модели, т. е. решение полученной математической задачи средствами математики;
3. интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

При этом должны соблюдаться следующие требования:

1. модель должна адекватно отражать наиболее существенные (с точки зрения определенной постановки задачи) свойства объекта, отвлекаясь от несущественных его свойств;
2. модель должна иметь определенную область применимости, обусловленную принятыми при её построении допущениями;
3. модель должна позволять получать новые знания об изучаемом объекте.

 

После того как  математическая модель построена, возможны два случая:

1. полученная конкретная модель принадлежит к уже изученному в математике классу моделей и тогда математическая задача решается уже известными методами;
2. эта модель не укладывается ни в одну из известных схем (классов) моделей, разработанных в математике, и тогда возникает внутри математическая проблема исследования нового класса моделей, что приводит к дальнейшему развитию одной из существующих математических теорий или к появлению новой.

Это развитие математических теорий находит затем применение к изучению той области знаний, в которой возникла исходная задача, а также и других объектов реального  мира, приводящих к математическим объектам того же класса. 
 
 
 
 

2. Основные модели роста популяций.

2.1. Модель неограниченного роста численности популяции. 
Все живые организмы теоретически способны к очень быстрому увеличению численности. При неограниченных ресурсах и отсутствии гибели от болезней, хищников и т.п. даже при низкой исходной численности популяция любого вида за сравнительно короткий срок может так вырасти, что покроет весь земной шар сплошным слоем. 
Способность к увеличению численности за данный промежуток времени называют биотическим потенциалом вида.[2] 
У разных видов биотический потенциал разный: у крупных млеко питающихся численность может возрастать в год лишь в 1,05 - 1,1 раза, а у мелких насекомых (рачков, дафний) численность в год может возрасти в 1010-1030 раз. А у бактерий и одноклеточных водорослей еще быстрее. Во всех этих случаях, при идеальных условиях численность будет расти в геометрической прогрессии, и график изменения численности будет представлять собой экспоненту. Рост численности в геометрической прогрессии называется экспоненциальным ростом.  
В лабораторных условиях наблюдать экспоненциальный рост можно в популяциях дрожжей, водоросли хлореллы, бактерий на начальных стадиях роста. 
В природе экспоненциальный рост наблюдается при вспышках саранчи, непарного шелкопряда и других насекомых. Экспоненциально может расти численность животных, заселенных в новую местность, где у них мало врагов и много пищи (классический пример - рост численности кроликов, завезенных в Австралию). 
Во всех этих случаях экспоненциальный рост наблюдается в течение коротких промежутков времени, после чего скорость роста численности снижается.

2.2. Модель Мальтуса (рождаемость - смертность) 
В популяциях микроорганизмов удельная скорость роста зависит от скорости деления клеток. Исходные клетки делятся на дочерние, что и определяет прирост численности. 
В популяциях многоклеточных организмов удельная скорость роста зависит от рождаемости и смертности. [3] 
Рождаемость характеризует частоту появления новых особей в популяции. Различают рождаемость абсолютную и удельную. Абсолютная рождаемость - число особей, появившихся в популяции за единицу времени. Удельная рождаемость выражается в числе особей на особь в единицу времени. Например, для популяции человека как показатель удельной рождаемости обычно используют число детей, родившихся в год на 1000 человек. 
Смертность (абсолютная и удельная) характеризует скорость убывания численности популяции, вследствие гибели особей от хищников, болезней, старости и т.д. 
Используя такие параметры модели изменения численности популяции, австрийский священник Мальтус опубликовал в 1802 году результаты своих исследований, основанных на данных о росте населения в американских колониях. Приведем его рассуждения: 
Пусть в популяции с начальной численностью N особей за промежуток времени dt появляется dN новых особей. Если число вновь появившихся особей прямо пропорционально N и dt, то имеем уравнение dN=r*dt*N. Разделив обе части на dt, получим: 
                   (1) 
где dN/dt - абсолютная скорость роста численности , r - биотический потенциал. 
Решением уравнения (1) будет

              (2) 
В дискретном виде это уравнение можно записать так:

              (3) 
 
2.3. Модель Ферхюльста (рождаемость и смертность с учетом роста численности) 
Как правило, численность популяции зависит не только от рождаемости и смертности, но и от ограниченности пищевых и других ресурсов. Вскоре за созданием модели Мальтуса, бельгийский математик Ферхюльст задался вопросом: будет ли население Бельгии расти неограниченно? Ответом на этот вопрос было создание новой модели динамики численности популяции при ограниченных ресурсах, описываемой следующим уравнением:

              (4)  
где r - удельная скорость роста численности, 
N - численность популяции, 
m - число встреч членов популяции, при котором они могут конкурировать за какой-либо ресурс. 
Уравнение это отличается от уравнения экспоненциального роста (уравнения Мальтуса) выражением m*N², которое как раз и отражает ограниченность ресурсов. 
Перепишем уравнение (4) так: