Определение закона распределения

Определение закона распределения

 

Цель работы:

1. Изучить критерии согласия принятого закона распределения теоретическому.

2. Научиться строить - характеристику по статистическим данным и определять закон распределения.

 

В результате выполнения лабораторной работы студенты должны:

ЗНАТЬ:

- критерии согласия принятого закона распределения теоретическому

УМЕТЬ:

- рассчитывать, строить - характеристику и определять закон распределения

 

К проведению лабораторной  работы допускаются студенты, изучившие описание данной работы, методику расчета и литературу по данной теме.

 

 

Теоретическая часть

 

Методика определения закона распределения  включает в себя следующие этапы: подготовку опытных данных, построение гистограммы и проверку соответствия закона распределения с использованием одного из критериев согласия (Колмогорова, Пирсона, Стьюдента, Фишера и др.).

В данной практической работе мы рассмотрим критерии согласия Колмогорова и  Пирсона.

Проверка соответствия принятого  закона распределения отказов осуществляется по критериям согласия.

 

Критерий Пирсона. При использовании критерия Пирсона ( - критерий) в качестве меры расхождения теоретического и эмпирического распределений принимается некоторое число Н, которое вычисляется по следующему правилу:

,

где — объем выборки (число отказов); — число интервалов разбиения вариационного ряда; — число членов вариационного ряда (число отказов), попавших в -й интервал; — вероятность того, что наработка на отказ примет значение в пределах -гo интервала при данном виде функции распределения и найденных оценках параметров.

Вычисленная по этому правилу мера расхождения Н есть случайная величина, имеющая - распределение с числом степеней свободы , где S — число параметров функции распределения, оцениваемых по одной и той же статистике.

Заключительным этапом рассматриваемой  процедуры проверки гипотезы является сравнение вычисленной меры расхождения  с квантилью  -распределения по уровню с степенями свободы ( ). Здесь — уровень значимости (вероятность ошибки) — определяет максимальное значение меры расхождения, которое еще можно считать случайным.

Если в результате сравнения  оказывается, что вычисленное значение Н не превышает квантили , то делается заключение, что нет оснований отвергнуть принятую гипотезу. Если же , гипотеза отвергается и вся последовательность статистической обработки повторяется, начиная с уточнения гипотезы о виде функции распределения.

Таким образом, процедура проверки гипотезы о виде функции распределения  по -критерию состоит из следующих этапов:

- построение вариационного ряда и гистограммы. При этом определяются число интервалов разбиения, ширина интервала разбиения и фактическое число отказов попавших в -й интервал;

- принятие гипотезы о виде функции распределения и оценка параметров этого распределения;

- вычисление вероятностей ; вероятности вычисляются как разности значений функции распределения в точках начала и конца каждого из интервалов: ,

- вычисление значений — ожидаемые (теоретические) числа отказов для каждого из интервалов при принятом виде функции распределения и найденных оценках параметров;

- вычисление значений и меры расхождения Н;

- определение значения квантили и сравнение с вычисленным ранее значением Н. Квантиль определяется по таблицам -распределения либо по номограмме, приведенной далее.

Если число отказов по результатам  испытаний мало, гистограмма не является информативной и, следовательно, критерий Пирсона неприменим. Строго говоря, использование критерия Пирсона не рекомендуется уже при .

Если вероятность  , то экспериментальное распределение соответствует теоретическому.

 

Критерий Колмогорова. При использовании критерия Колмогорова в качестве меры расхождения теоретического и эмпирического распределений принимается число , которое вычисляется по правилам:

где — максимальное абсолютное значение разности эмпирической и теоретической функций распределения; — объем выборки (число отказов).

Вычисленная по правилу  мера расхождения D* есть случайная величина, имеющая распределение Колмогорова. При распределение зависит от .

Заключительным этапом процедуры  проверки гипотезы по критерию Колмогорова является сравнение вычисленной меры расхождения с квантилью распределения Колмогорова по уровню . Здесь, так же как и ранее, — уровень значимости (вероятность ошибки) — определяет максимальное значение меры расхождения, которое еще можно считать случайным. Если в результате сравнения оказывается, что вычисленное значение не превышает квантили , то делается заключение, что нет оснований отвергнуть принятую гипотезу о виде функции распределения. Если же > , то принятая на начальном этапе гипотеза отвергается и вся последовательность обработки информации повторяется, начиная с уточнения гипотезы о виде функции распределения.

При процедура проверки гипотезы проводится аналогично, с той лишь разницей, что вычисляется мера и сравнивается с критическим значением (табулированная функция).

Таким образом, процедура проверки гипотезы по критерию Колмогорова состоит из следующих этапов:

построение вариационного ряда и эмпирической функции распределения;

- принятие гипотезы о виде функции распределения и оценка параметров этого распределения;

- вычисление значений теоретической функции распределения в точках , соответствующих скачкам эмпирической функции распределения;

- вычисление в каждой из точек абсолютного значения разности  ;

- выбор максимального значения разности и определение меры расхождения;

- сравнение меры расхождения с квантилью распределения Колмогорова или при с критическим значением максимального отклонения эмпирической функции распределения от теоретической.

 

По критерию Колмогорова соответствие теоретического и экспериментального распределений проверяется по выполнению условия

,

      - общее число экспериментальных точек.

 

Основной количественной характеристикой надежности элементов является интенсивность отказов

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок времени.

Статистическая оценка интенсивности  отказов имеет вид:

,

где - число отказов однотипных объектов на интервале ;

- число работоспособных объектов  в середине интервала  .

Гистограмма строится по полученным статистическим данным. Все данные и результаты расчета  заносятся в табл.1.

Таблица 1

, час
, 1/час

 

Рассчитанные значения точками отмечаются на серединах интервалов, затем эти точки соединяются плавными линиями.

 

 

 

Практическая  часть

 

Вариант 1. В результате опыта получен следующий ряд времени исправной работы в часах:

2	3	3	5	6	7
8	8	9	9	13	15
16	17	18	20	21	25
28	35	37	53	56	69
77	86	98	119

 

Требуется установить закон распределения  времени безотказной работы, используя упрощенный критерий согласия Колмагорова .

Данные  свести в таблицу вида

Наработка изделия , ч	Интервал наработки,	Число отказов в интервале времени	Число отказов к началу интервала	Интенсивность отказов

 

Вариант 2. Рассмотрим наработку однотипных изделий, используя упрощенный критерий согласия Колмагорова . Ниже приведена наработка изделий до отказа в порядке ее возрастания – вариационный ряд.

Ti =	4200,	4350,	4390,	4410,	4430,	4460,	4480,	4530,
	4540,	4560,	4580,	4590,	4620,	4630,	4640,	4660,
	4670,	4690,	4710,	4710,	4720,	4740,	4750,	4760,
	4820,	4840,	4850,	4880,	4930,	4960,	4980,	5050,
	5090,	5200,	5250.

 

Определить  закон распределения. Данные свести в таблицу вида

Наработка изделия , ч	Интервал наработки,	Число отказов в интервале времени	Число отказов к началу интервала	Плотность распределения

 

 

 

В отчете должно быть отражено:

1. Тема лабораторной работы.

2. Критерии согласия.

3. Результаты расчетов.

 

Литература:

1. А.В.Бурлаков. Надежность АТ. – М.: Трансопрт, 1989.
2. В.Я.Кучер. Основы технической диагностики и теории надежности. Письменные лекции. – С-Пб.: С-ЗГЗТУ, 2004.