Биография Пифагора

Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена  старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности  в том, что именно Гермодамант  и Ферекид были первыми учителями  Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.

В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис - самосскую  колонию, где было у кого найти  кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой.

Не стоит  драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принципов достойны подражания и сейчас.

...Прошло 20 лет.  Слава о братстве разнеслась  по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В  прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод  арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

"Во  всяком прямоугольном  треугольнике квадрат,  образованный на  стороне, натянутой  над прямым углом,  равен сумме двух  квадратов, образованных  на двух сторонах, заключающих прямой  угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по  длинной стороне,  столь же велика, как у двух квадратов,  которые измерены  по двум сторонам  его, примыкающим  к прямому углу".

В первом русском  переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В  прямоугольных треугольниках  квадрат из стороны,  противолежащей прямому  углу, равен сумме  квадратов из сторон, содержащих прямой  угол".

В настоящее  время известно, что эта теорема  не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:   

Пребудет  вечной истина, как  скоро 
   Ее познает слабый человек! 
   И ныне теорема Пифагора 
   Верна, как и в его далекий век. 
 
   Обильно было жертвопринашенье 
   Богам от Пифагора. Сто быков 
   Он отдал на закланье и сожженье 
   За света луч, пришедший с облаков. 
 
   Поэтому всегда с тех самых пор, 
   Чуть истина рождается на свет, 
   Быки ревут, ее почуя ,вслед. 
 
   Они не в силах свету помешать , 
   А могут лишь закрыв глаза дрожать 
   От страха, что вселил в них Пифагор.

Теорема доказана.

Начнем с  доказательства Эпштейна(рис. 1) ; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

Разложение  на треугольники можно сделать и  более наглядным, чем на рисунке.

На рисунке  вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

На рисунке  дано весьма наглядное разложение Бетхера.

В учебниках  нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Изображенное  на рисунке разложение принадлежит  Гутхейлю; для него характерно наглядное  расположение отдельных частей, что  позволяет сразу увидеть, какие  упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

Ранее были представлены только такие доказательства, в которых  квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.

На рисунке  квадраты, построенные на катетах, размещены  ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

Наряду с  доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах

В-А=С и В₁-А₁=С₁

часть А равновелика части А₁, а часть В равновелика В₁, то части С и С₁ также равновелики.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Познакомимся  с другим доказательством методом  вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы  Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие:

1. треугольники 1, 2, 3, 4;
2. прямоугольник 5;
3. прямоугольник 6 и квадрат 8;
4. прямоугольник 7 и квадрат 9;

1. прямоугольники 6 и 7;
2. прямоугольник 5;
3. прямоугольник 1(заштрихован);
4. прямоугольник 2(заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части  равновелики. Это легко видеть в  силу расположения фигур. Из рисунка  ясно, что:

1. прямоугольник 5 равновелик самому себе;
2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;
4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство  закончено.

Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD 

РFBC = d + РABC = РABD

Но

S_ABD = 1/2 S BJLD,

так как у  треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

S_FBC=1\2S _ABFH

(BF-общее основание,  АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

S_ABD=S_FBC,

имеем

S_BJLD=S_ABFH.

Аналогично, используя  равенство треугольников ВСК  и АСЕ, доказывается, что 

S_JCEL=S_ACKG.

Итак,

S_ABFH+S_ACKG= S_BJLD+S_JCEL= S_BCED,

что и требовалось  доказать.

Как в доказательствах  методом разложения, так и при  доказательстве евклидового типа можно  исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.

Пусть квадрат,построенный  на одном из катетов (на рисунке это  квадрат,построенный на большем  катете), расположен с той же стороны  катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной  катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника(он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника

Приведем еще  одно доказательство, которое имеет  вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

S_CAA'=b²/2 

S_CBB'=a²/2 

S_A'AB'B=(a²+b²)/2 

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание  с и высоты DA и DB, поэтому :

S_A'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два  полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для  доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы  доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции=(a+b)²/2 

Sтрапеции=a²b²+c²/2 

При равнивая правые части получим:

a²+b²=c²

Теорема доказана.

В прямоугольном  треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия(по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.

c²=4ab/2+(a-b)² 

c=2ab+a²-2ab+b² 

c²=a²+b² 

Теорема доказана.

Для того, чтобы  доказать теорему о гиппократовых  луночках, докажем следующее предложение: Если на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника построены какие угодно подобные между собой фигуры Fa, Fb, Fc, так, что катеты и гипотенуза являются сходственными отрезками этих фигур, то имеет место равенство: Fa+Fb=Fc.

Для доказательства воспользуемся следующей теоремой из теории подобия: площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Если через Fa, Fb, Fc обозначить площади подобных многоугольников, построенных на катетах a, b и гипотенузе с прямоугольного треугольника, то согласно вспомогательной теореме можно написать:

Fa/Fb/Fc=a²/b²/c².

Эта пропорция  означает,что можно найти число k (коэффицент пропорциональности) такое, что 

Fa=ka²  Fb=kb² Fc=kc².

.

Умножив обе  части равенства на k и принимая во внимание предыдущие равенства, получим:

Fa+Fb=Fc.

Если равенство Fa+Fb=Fc имеет место хотя бы для одной тройки подобных между собой многоугольников, построенных на катетах и на гипотенузе прямоугольного треугольника АВС так, что АС, ВС и АВ есть сходственные отрезки этих многоугольников, то

ka²+kb²=kc²

(где k имеет  какое-то определенное значение, зависящее от выбора многоугольников, - нам совершенно не важно, какое именно). Но отсюда вытекает, что

а²+b²=с²,

а это влечет за собой тот факт,что равенство Fa+Fb=Fc выполняется для любых построенных  на сторонах прямоугольного треугольника подобных многоугольников, в частности, и для квадратов.

Гиппократ Хиосский (вторая половина пятого века до н. э., Афины) занимался квадратурой луночек. Он называл луночкой часть плоскости, ограниченную двумя дугами окружностей. Наше предложение в том виде, как оно будет здесь сформулировано, не встречается у самого Гипократа, который нашел квадратуру только для некоторых луночек. Во всей общности теорему доказал араб Ибн Альхаитам:

"Если  на гипотенузе  прямоугольного треугольника  как на диаметре  описать полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник, то она пройдет через вершину прямого угла." Эту теорему греки приписывали Фалесу Милетскому, но в действительности ее знали еще древние вавилоняне.

Опишем две  полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Пусть Ка,Кв,Кс- площади полукругов, построенных на катетах и гипотенузе. Согласно теореме, рассмотренной ранее, имеем:

Ка+Кb=Кс.

Этот же результат  можно получить, умножив обе части  равенства

А²+В²=С² на π/8.

В самом деле, равенство

(π/8)А+(π/8)В=(π/8)С

означает,что  площадь полукруга С диаметром  с равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b. Если мы отнимем те же части(на рисунке  они не заштрихованы )как от полукруга,построенного на гипотенузе, так и от полукругов, построенных на катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма площадей луночек равна площади треугольника.

Пусть АВС - прямоугольный  треугольник с прямым углом при  вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное  равенство:b+c=a

откуда имеем

c = a - b

возводя обе  части в квадрат, получим

c²=a²+b²-2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c²=a²+b²  или c²=a²+b²

Нами снова  доказана теорема Пифагора.

Если треугольник  АВС - произвольный, то та же формула  дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.