Методика навчання математики

У прийнятій у 1968 р. програмі шкільного курсу геометричні перетворення вважалися однією з основних змістових ліній геометрії й апаратом для доведення теорем і розв’язування задач. Цей погляд на геометричні перетворення було реалізовано у навчальних посібниках за редакцією А. М. Колмогорова (планіметрія) та 3. О. Скопеця (стереометрія). Слід зазначити, що зроблена в цих посібниках спроба трактувати геометричні перетворення як відображення площини (простору) на себе з широким використанням термінології та символіки множин призвела до надмірної заформалізованості навчального матеріалу і як результат — до труднощів у його сприйманні.

У чинній програмі та підручниках О. В. Погорєлова  і Л. С. Атанасяна та ін. геометричні перетворення залишаються однією з основних змістових ліній курсу геометрії, але порівняно з посібником за редакцією А.  М.  Колмогорова їхнє місце і значення зменшились.

Програма і підручник  О. В. Погорєлов  передбачають вивчення геометричних перетворень у курсі планіметрії за два етапи. Рухи розглядають у 8 класі, а подібність фігур — у 9 класі.

У підручнику Л. С. Атанасяна передбачено вивчення у 8 класі центральної та осьової симетрії без зв’язку з рухом, теми «Подібні трикутники» — без зв’язку з поняттям перетворення подібності. В останній темі 9 класу розглянуто рухи. У зазначених підручниках по-різному означено основні поняття геометричних перетворень, визначено різне місце для їх застосування до доведення теорем і розв’язування задач.

Основною метою вивчення геометричних перетворень є ознайомлення учнів з різними видами рухів (осьова та центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення), подібністю та гомотетією, їхніми властивостями, введення загального поняття про рівність і подібність фігур, застосування окремих видів перетворень, ознак подібності трикутників до розв’язування задач.

Учні мають розуміти суть кожного із зазначених у програмі видів геометричних перетворень, знати  їхні властивості, ознаки подібності трикутників  і вміти застосовувати їх до розв’язування  найпростіших задач.

Загалом тема «Геометричні перетворення» включає в себе такі підтеми:

• Переміщення та його властивості.
• Симетрія відносно точки і прямої, поворот, паралельне перенесення. Рівність фігур.
• Перетворення подібності та його властивості. Гомотетія. Подібність фігур. Площі подібних фігур.

Необхідно додати, що зміст  теми в 8-9 класах має значну базову частину, необхідну для вивчення всіма  учнями, незалежно від їх інтересів  і прагнень. У той же час відзначимо, що, в основному, до цього віку математичні  здібності учнів вже проявилися. Тому в даний період виникає гостра необхідність врахування індивідуальних особливостей учнів, так як частина  школярів після закінчення 9 класу  вже має тверді професійні наміри. Всі перераховані факти приводять  до висновку про те, що в 8-9 класах доцільно при побудові курсу «Геометричні перетворення площини" реалізувати  рівневу диференціацію з елементами профільної, які полягають у відборі  теоретичного матеріалу і в доборі системи завдань для кожної групи  учнів класу відповідно до їх інтересами і можливостями.

У 8-9 класах у змісті теми «Рух» виділяються три рівні  навчання: базовий, підвищений та творчий.

Базовий рівень містить основне  ядро ​​теми, яке повинно бути вивчено всіма учнями класу. Причому слід зазначити, що дана частина повинна містити всі три складові: гуманітарну, прикладну і природничу. На даному рівні доцільно використовувати фронтальні форми роботи навчальної діяльності учнів.

Підвищений рівень характеризується включенням на етапі закріплення  теми завдань певного практичного  характеру, які ілюструють програми геометричних перетворень. На цьому  рівні вже треба рекомендувати  враховувати індивідуальні особливості  учнів, їхні інтереси. У змісті цього  рівня доцільно виділити три складові і таким чином організувати роботу на уроці, щоб школярі, які мають  гуманітарні здібності, більше працювали  з навчальним матеріалом гуманітарного  змісту і, навпаки, учні з математичними  здібностями більше мали справу з  матеріалами природничого змісту. Серед учнів класу слід відібрати таких, яким більше підходить прикладна складова. При організації такої роботи краще використовувати групові та індивідуальні форми навчальної діяльності. Таким чином, при навчанні спостерігаються вже елементи профільної диференціації.

Вивчення теми «Рух» в  класах з поглибленим вивченням  математики передбачено державною  програмою для цих класів. Воно може проводитися в два етапи, що відповідають віковим можливостям  і потребам школярів і відповідно розрізняються по цілям. Перший етап відноситься до основної школи, другий - до старшої школи.

Перший етап (8-9 класи) поглибленого вивчення математики є в значній  мірі орієнтаційний. На цьому етапі  учневі слід допомогти усвідомити ступінь  свого інтересу до предмета і оцінити  можливості оволодіння ним з тим, щоб по закінченні основної школи  він зміг зробити свідомий вибір  на користь подальшого вивчення математики - поглибленого або звичайного.

В основу рівневої диференціації  з елементами профілювання закладається принцип, згідно з яким більшу частину  навчального часу три групи учнів  працюють разом. Так як робота йде  в одному класі, то в учнів є  можливість перейти з однієї групи  навчання в іншу, якщо інтереси придбали іншу професійну забарвлення. Даний  підхід сприяє усвідомленому вибору профілю навчання в старших класах і найбільш ефективному навчанню в ньому.

3. Основні види перетворень та їх візуальне представлення

Геометричні перетворення –  дуже важливий розділ курсу геометрії. У геометрії Евкліда, яку ми вивчаємо в шкільному курсі математики, переважно досліджуються ті властивості  геометричних фігур, що не змінюються при їх русі (образно кажучи, кожну  геометричну фігуру можна розглядати як “тверду”, наприклад, вирізану з  картону), – симетрія та поворот, а  також ті, де відбувається перетворення подібності – гомотетія.

Метод геометричних перетворень  є досить продуктивним методом розв’язування  геометричних задач. Математична теорія симетрії, симетрія у живій та неживій  природі, мистецтві, архітектурі, інженерії  отримали спільне підґрунтя у геометричних перетвореннях.

Між тим, при викладенні даної  теми вчитель зустрічається з  певними труднощами у власній  педагогічній практиці. Це може бути пояснено навіть не стільки браком часу, що відводиться  на розгляд даної теми, скільки  обмеженістю відповідної наочності, що і викликає труднощі у сприйнятті матеріалу. Не завжди вчитель має  змогу підготувати достатню кількість  моделей, що ілюструють відповідний  теоретичний або задачний матеріал, тим більше, що як правило такі моделі не відрізняються суттєвою різноманітністю.

3.1. Статичне представлення

Методично правильно побудоване навчання математики повинно починатися з конкретного і поступово  переходити до абстрактних висновків. Переходу від сприймання конкретного  до абстрактного і від абстрактного до конкретного сприяють засоби навчання.

Під засобами навчання математики розуміють сукупність об’єктів будь-якої природи, кожний з яких повністю або  частково замінює поняття, яке вивчається, дає нову інформацію про нього.

У школах використовуються різні статичні засоби представлення: підручники, навчальні посібники для учнів (картки з математичними завданнями, зошити з друкованою основою, довідники тощо), спеціальні наочні посібники (предмети або їх зображення, розрізні цифри, знаки дій і порівняння, моделі геометричних фігур), інструменти і прилади (лінійка, циркуль, кутник, палетка).

Навчальні наочні посібники  поділяють на: натуральні і образотворчі. До натуральних наочних посібників, які використовують на уроках математики, належать: зошити, олівці, палички, каркаси різних фігур, тощо. Зокрема, при вивченні теми «Геометричні перетворення» доцільно використовувати різнокольорові олівці (крейду) для більш наочного представлення переміщення фігури. Каркаси геометричних фігур доцільно використовувати при вивченні поняття центральносиметричної фігури.

Серед образотворчих наочних  посібників виділяють образні: предметні  картинки, зображення предметів і  фігур з паперу і картону, таблиці  із зображенням предметів або  фігур. Під час вивчення теми «Геометричні перетворення» можна використати  таблиці із зображенням симетрії відносно точки та прямої, а також при вивченні повороту.

Важливим засобом наочності  в процесі вивчення математики є  таблиці. За метою застосування вони різноманітні: таблиці для формування математичних понять і  закономірностей (навчальні таблиці); таблиці-інструкції, таблиці, що служать засобом відшукання способу розв’язування задачі, таблиці  для усних обчислень; таблиці-довідники. Окремі з них мають не одну, а  кілька цілей. Можна використати  таблицю, за допомогою якої діти можуть ознайомлюватися з властивостями центральної та осьової симетрії.

Багато таблиць використовується для ілюстрації змісту задач за допомогою  малюнка, для усних вправ, наприклад, для визначення точок, які є симетричні даній відносно початку координат (осей ОХ,ОY)

текстових задач.

Знання видів наочних  посібників дає змогу учителеві  правильно їх добирати і ефективно  використовувати під час навчання, а також виготовляти самостійно або разом з дітьми потрібні наочні посібники. Проте потрібно пам’ятати, що наочність не самоціль, а допоміжний засіб навчання. Тому не слід зловживати застосуванням наочності, бо це гальмує активність учнів і затримує розвиток їх логічного мислення. Отже, треба уникати двох крайностей: ігнорування наочності і надмірного її застосування.

3.2 Анімаційне подання

Поняття перетворення є одним  з фундаментальних понять у геометрії. Це зумовлено, по-перше, провідною роллю  практичних операцій в мисленні (згідно Ж. Піаже, всі розумові операції утворюють  структуру групи, подібну групі  перетворень в геометрії). По-друге, з поняттям перетворення пов'язаний «груповий підхід» до геометрії, відповідно до якого геометрія — це наука, що займається вивченням властивостей фігур, є інваріантами фундаментальної групи перетворень.

Школа, обмежена певними  термінами навчання, не може безмежно розширювати рамки навчальних програм, щоб охопити всі досягнення науки і техніки. Тому для максимальної активізації розумової діяльності учнів, розвитку їх пізнавальних інтересів, творчих здібностей, уміння самостійно поповнювати знання і почали застосовувати при навчанні нові методи і засоби. Серед них технічні та аудіовізуальні засоби навчання займають одне з провідних місць.

  Аудіовізуальні засоби мають великий інформативністю, достовірністю, дозволяють проникнути в глибину досліджуваних явищ і процесів, підвищують наочність навчання, сприяють інтенсифікації навчально-виховного процесу, підсилюють емоційність сприйняття навчального матеріалу.

  Досвід вчителів-практиків переконливо доводить, що застосування технічних засобів навчання сприяє вдосконаленню навчально-виховного процесу, підвищення ефективності педагогічної праці, поліпшенню якості знань, умінь і навичок учнів.

Використовуючи на уроках геометрії електронні навчально-наочні посібники у вчителя з’являється можливість візуалізувати, наприклад, тривимірні моделі геометричних фігур. Перевага використання таких моделей полягає в можливості вільно маніпулювати об’єктами вивчення: фото реалістично представляти 3D- моделі геометричних фігур (у каркасному вигляді, у зафарбованому), що сприяє формуванню в учнів цілісності представлення; вільно обертати 3D-модель в області перегляду; змінювати масштаб моделей; вписувати моделі одна в одну; легко відміняти дії, покроково зберігати й вносити зміни при необхідності; здійснювати відеозапис процесу роботи, зберігати модель з метою створення «навчальної колекції». Здійснення відеозапису дозволяє зберегти у відеофайл усі маніпуляції, які виконувались учнем або вчителем в конкретний момент, а потім відтворити за допомогою відеоплеєра.

Телебачення, навчальне  телебачення — спосіб передачі на відстань навчальної зорової та звукової інформації через систему відкритих або замкнутих телевізійних систем.  Навчальні телевізійні передачі - передачі, створювані за темами навчальної програми і призначені для використання безпосередньо на уроці, а також значимість цього технічного засобу мало, чим відрізняється від навчального звукового кіно. Під час вивчення теми «Геометричні перетворення» можна використати навчальне телебачення для повідомлення історії виникнення понять «перетворення», «рух», «симетрія».

Навчальні мультимедіа-програми можуть включати і елементи контролю знань учня, наприклад, шляхом включення  питань з набором альтернатив, вибір  кожної з яких може супроводжуватися оціночними коментарями; дана можливість особливо важлива в процесі самоосвіти.

 Зазвичай в шкільний  комплект мультимедійного обладнання  сучасної школи входить мультимедіа  ПК, мультимедійний проектор, інтерактивна  дошка зворотної проекції, система  звукопідсилення.

На допомогу можуть прийти засоби Power Point (складової Microsoft Office) –  програми, яка дозволяє створювати та демонструвати яскраві презентації  на будь-яку тему. За допомогою презентації можна показати наочно як відвівається поворот фігури чи паралельне перенесення.

На заняттях, присвячених  вивченню поняття руху та його видів  вчителю, як правило, доводиться малювати на дошці безліч різних фігур і  намагатися зобразити процес їх перетворення. Застосування технології Flash в таких випадках економить час на уроці, надаючи готові креслення, підвищує наочність в порівнянні зі статичною картинкою на дошці.

Запропонований флеш-фільм  покликаний виконувати роль наочного посібника. Спосіб подачі матеріалу  з опорою на візуальне мислення, запропонований в цьому посібнику, міг би полегшити сприйняття учнями досить складного для представлення  поняття руху та його видів. Даний  посібник більшою мірою є демонстраційним. Інтерактивне посібник розроблялося з  урахуванням вимог, що пред'являються  комп'ютерним програмним засобам, що використовується в навчальному  процесі: педагогічних, дидактичних, методичних.

Даний посібник можна використовувати  на різних етапах уроку і етапах вивчення розділу «Рух». Перегляд представленого флеш-фільму доцільно організовувати як на уроках вивчення нового матеріалу  в якості допоміжного демонстраційного посібника, так і на уроках закріплення, при цьому переглядаючи лише його фрагменти. Крім того, допомога можна  використовувати як доповнення до підручника для самостійного перегляду учнями.