Решение систем линейных уравнений

где каждый из символов a_i и b_i означает какое-то из чисел x_j (j = 0, 1, ..., n + 1), при этом можно считать, что a_i < x_i < b_i.

2^o. Во все правые части этих равенств, в которых присутствует x₁, подставим его значение из первого равенства. Получим новый набор равенств (с теми же левыми частями, что и в старом), правые части которых уже не содержат x₁. Если при этом в правой части второго равенства появится член вида x₂, то перенесем его в левую часть и разделим обе части на 1 - (ниже мы докажем, что 1). Второе равенство теперь имеет вид:

x₂ =

x₃ + x₄ + ... + x_n + ,

где — некоторые рациональные числа.

Рассмотрим теперь все равенства, кроме первого  и второго. Во все правые части, содержащие x₂, подставим его значение из второго равенства, затем используем третье равенство, чтобы выразить x₃ через переменные x₄, ..., x_n, и подставим это значение во все равенства, начиная с четвертого. Опять же, нужно доказать, что при этом не придется делить на нуль.

Повторяя эту  операцию n раз, придем к равенству x_n = (в правой части не осталось ни одного неизвестного!). Нетрудно понять, что на каждом шаге все коэффициенты рациональны. Действительно, в начале это так, а при наших операциях мы используем лишь сложение, умножение, вычитание и деление.

Итак, x_n рационально. Далее, x_{n - 1} выражено через x_n и рациональные числа, значит, оно тоже рационально, и т. д. Значит, все числа рациональны.

3^o. Осталось доказать, что ни на каком шаге не приходится делить на нуль (см. комментарий).

В любой момент каждое равенство будет иметь  вид 

x_i =

x₁ + x₂ + ... + x_n + ,

Докажем, что  при этом

1. все коэффициенты (k = 1, 2, ..., n + 1) неотрицательны;
2. хотя бы один коэффициент c k > i не равен нулю.

Действительно, для исходного набора это верно. Делая очередную подстановку  из j-го равенства (j < i), мы заменяем коэффициент на 0, а любой другой коэффициент на + , где -- коэффициент при x_k в j-м равенстве. Неотрицательность при этом сохраняется, а наибольший номер ненулевого коэффициента не уменьшается, следовательно, он останется большим, чем i. При переносе в левую часть члена x_i получаем в правой части положительное число. Действительно, все x_k положительны, а все коэффициенты неотрицательны, причем по крайней мере один из них строго положителен. Значит, левая часть тоже положительна, поэтому 1 - > 0. При делении обеих частей равенства на положительное рациональное число 1 - все перечисленные свойства также сохраняются.

Комментарии. 1^o. То, что ни на каком шаге не приходится делить на нуль, принципиально: например, система линейных уравнений  

x₁ = 2x₂ - 2,  
x₂ = + 1

имеет следующее  иррациональное решение: x₁ = 2 , x₂ = + 1.

2^o. То, что мы делаем, — это по сути метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

Второй  способ. [выходящий за рамки школьной программы] 1^o. Пусть x₁, x₂, ..., x_n — координаты отмеченных точек. Условие, что точка находится посередине между двумя другими, записывается в виде линейного уравнения x_i = (a + b), где a и b — координаты других точек или концов отрезка (т. е. 0 или 1). Таким образом, координаты наших точек являются решениями некоторой системы линейных уравнений (обозначим ее (*)) с рациональными коэффициентами и рациональными свободными членами (будем называть такую систему рациональной). Нужно доказать, что эта система не может иметь иррационального решения (т. е. решения, значение хотя бы одной переменной в котором иррационально).

Если рациональная система линейных уравнений имеет  единственное решение, то это решение  рационально. В самом деле, если решение  единственно, то его можно найти методом Гаусса, в ходе которого нужно только складывать, вычитать, умножать и делить, а делая такие действия с рациональными числами, мы не можем получить иррациональное число.

2^o. Осталось доказать, что решение системы (*) единственно. От противного, пусть x₁, x₂, ..., x_n и y₁, y₂, ..., y_n -- два разных решения рассматриваемой системы уравнений. Тогда числа t₁ = x₁ - y₁, t₂ = x₂ - y₂, ...,  t_n = x_n - y_n образуют ненулевое решение соответствующей однородной системы, т. е. системы (*), в которой все свободные члены заменили на нули.

Иными словами, для каждого i выполняется линейное уравнение t_i = (a + b), где a — одно из чисел t_j (j i) или нуль и b — одно из чисел t_j (j i) или нуль. Рассмотрев число t_i, имеющее максимальный модуль, приходим к противоречию. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Цели  и задачи.

 

Цель1: сформулировать способы решения линейных систем. 
 
 
 
 
 
 

Цель 2 : решение  задач с применением линейных систем. 
 
 
 
 
 
 
 

2.Введение. 

Изучение  решений систем линейных уравнений дают нам прочные знания, которые упрощают решение многих задач. Я думаю , интересно было бы узнать способы решения линейных уравнений . 

Способы решения линейных систем 

1 Способ подстановки:

1. выразить какую-нибудь переменную из одного уравнения;
2. подставить ее выражение в другое уравнение;
3. решить полученное уравнение с одной переменной;
4. найти оставшуюся переменную, используя ее выражение из пунктя 1.

 

2. Способ сложения  (способ  исключения)

Чтобы исключить  х из системы:

1)

a₁x+b₁y=c₁   первое уравнение умножить на а₂

a₂x+b₂y=c₂   второе уравнение умножить на (-а₁)

2) сложить  полученные уравнения :

a₁а₂x+а₂b₁y=c₁ а₂

-а₁a₂x+а₁b₂y=-а₁c₂  

                                     (  a₁b₁- а₁b₂) y= c₁ а₂-а₁c₂

3)найти у  из полученного уравнения;

4)найти х используя любое уравнение исходной системы и найденное значение у. 
 

3.Графический  метод

1)Построить  прямые 

2)

а)Если прямые пересекаются, то решение системы- координаты точки их пересечения

б)если прямые параллельны, то у системы нет  решений

в)если прямые совпадают, то решением системы являются координаты любой точки этих прямых. В этом случае система имеет бесконечно много решений 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Выводы. 
 

Я изучил системы двух линейных уравнений с двумя переменными, способы решения линейных систем научилась применять их к решению задач, сделала вывод, что умение решать системы линейных уравнений облегчает решение многих сложных задач 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Литература. 

1. Алгебра:Учеб. Для  8 кл. общеобразоват.  учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.-11-е изд. – М.: просвещение, 2004. –255с.: ил. 

2.Алгебра:Учеб. Для 9кл. общеобразоват.  учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.  В. Сидоров и  др.-10-е изд. –  М.: просвещение, 2004. –255с.: ил. 

3. Алгебра:Учеб. Пособие для 8-го кл учреждений обеспечивающих получение общ. Сред. Образования, с рус. яз. Обучения с 12-летним сроком обучения. / Е. П. Кузнецова ; под ред Л. Б Шнепермана.-2-е изд.-Мн.: Нар.асвета, 2005.-320 с.: ил. 

4. Математика. Весь  школьный курс  в таблицах/ авт.сост.Т.С. Степанова- Мн.: Современная школа,2006.  

Задачи. 

-Отработать  навыки решения линейных систем  уравнений

• Знать в чем заключается способ сложения при решении систем линейных уравнений, и уметь его применять
• Знать в чем заключается способ подстановки при решении систем линейных уравнений, и уметь его применять
• Знать, какие случаи числа решений возможны для системы двух линейных уравнений, и уметь соотнести их с геометрическими иллюстрациями и пропорциональностью коэффициентов и свободных членов
• Развивать самосознание и познавательную активность
• Воспитывать трудолюбие и настойчивость в достижении цели.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Способ  подстановки.

5x-y=3

2x+3y=25  

y=5x-3

2x+3(5x-3)=25 

y=5x-3

17x=34 

y=5x-3         y=7

x=2              x=2 

Ответ : (2;7) 

Способ  сложения

2x-7y=1     *1

x+2y=6       *(-2) 

2x-7y=1    

-2x-4y=-12     -11y=-11  т.е. у=1

Найдем х  из второго уравнения исходной системы:

Х=6-2у=6-2*1=4

Ответ : (4;1) 
 
 
 
 
 
 

Графический метод

а)   х-2у=3

      х+у=6 
 

Прямые пересекаются в точке М(5;1).

Ответ: (5;1).

б)  3х+у=2

      -9х-3у=4 
 

Прямые параллельны, значит система

не имеет решений.

Ответ: решений  нет.

в)  х-4у=1

     8у-2х=-2

 
 
 

Прямые совпадают, значит решением системы являются все  точки с координатами.

(4у+1;у), где у- любое число.

Ответ: (4у+1; у), где  у принадлежит R.