Многомерные массивы

Примеры применения функций  оценивания даны ниже:

В дальнейшем мы многократно  будем применять функции оценивания для демонстрации тех или иных вычислений.

Последовательности выражений

Maple 7 может работать  не только с одиночными выражениями, но и с последовательностями выражений. Последовательность выражений — это ряд выражений, разделенных запятыми и завершенных фиксатором:

Для автоматического  формирования последовательности выражений  применим специальный оператор $, после которого можно указать число выражений или задать диапазон формирования выражений:

Для создания последовательностей  выражений можно использовать также  функцию seq:

 

 

Вывод выражений

При выполнении порой  даже простых операций результаты получаются чрезвычайно громоздкими. Для повышения наглядности выражений Maple 7 выводит их с выделением общих частей выражений и с присваиванием им соответствующих меток. Метки представлены символами #N, где N — номер метки. Помимо меток при выводе результатов вычислений могут появляться и другие специальные объекты вывода, например корни RootOf, члены вида О(х"), учитывающие погрешность при разложении функций в ряд, и обозначения различных специальных функций, таких как интегральный синус, гамма-функция и др. Примеры такого вывода приведены ниже:

 

Часто встречаются также  знаки ~ для отметки предполагаемых переменных, постоянные интегрирования и другие специальные обозначения. По мере упоминания в тексте таких  объектов вывода они будут описаны.

 

Простые типы данных

Числа и числовые константы

Maple 7 работает с числами  следующего типа: целыми (О, 1, 123, -456 и  т. д.), рациональными в виде  отношения целых чисел (7/9, -123/127 и т. д.), вещественными с мантиссой  и порядком (1.23Е5, 123.4567Е-10). Признаком  вещественного числа является  десятичная точка (запятая). Примеры простых операций с числами приведены ниже:

Как видно из этих примеров, ввод и вывод чисел имеет следующие  особенности: 

• для отделения целой части мантиссы от дробной используется разделительная точка; 
• нулевая мантисса не отображается (число начинается с разделительной точки); 
• мантисса отделятся от порядка пробелом, который рассматривается как знак умножения; 
• мнимая часть комплексных чисел задается умножением ее на символ мнимой единицы I (квадратный корень из -1).

Десятичная точка в  числах имеет особый статус — указание ее в любом месте числа, даже в конце, делает число вещественным и ведет к переводу вычислений в режим работы с вещественными числами. При этом количеством выводимых после десятичной точки цифр можно управлять, задавая значение системной переменной окружения Digits:

Для работы с числами Maple 7 имеет множество функций. Они будут рассмотрены в дальнейшем. На комплексной плоскости числа задаются координатами точек (х, у) (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Представление обычных и комплексных чисел на плоскости

Для представления чисел  на рис. 5.1 используется функция pointplot(list), где list — список координат точек. Эта функция становится доступной при подключении пакета plots командой with(plots). Кроме того, использована функция вывода ряда графических объектов на один график — display (см. далее описание представления комплексных чисел).

С помощью функции convert Maple 7 может преобразовывать числа с различным основанием (от 2 до 36, в том числе бинарные и шестнадцатеричные) в десятичные числа:

При символьных вычислениях Maple 7 реализует точную арифметику. Это значит, что результат может быть получен с любым числом цифр. Однако надо помнить, что идеально точные численные вычисления выполняются только в случае целочисленных операций, например таких, как приведены ниже:

 

 

Комплексные числа

Maple 7, естественно, может работать с комплексными числами. Мнимая единица в комплексном числе (корень квадратный из -1) обозначается как I. Функции Re(x) и Im(x)возвращают действительную и мнимую части комплексных чисел. Примеры задания комплексного числа и вывода его действительной и мнимой частей представлены ниже:

Комплексные числа обычно представляют на так называемой комплексной  плоскости, у точек которой координата х задает действительную часть комплексного числа, а у (мнимая ось) показывает мнимую часть такого числа. На рис. 5.1 показано задание в виде радиус-векторов комплексного числа z = 4+3I, -z и комплексно-сопряженного числа 4-3I.

Окружность радиуса abs(z)=sqrt(a2 + b2) представляет абсолютное значение комплексного числа z=a+b*I. Она является геометрическим множеством комплексных чисел, образованных концом вращающегося радиус-вектора числа z вокруг его начала в точке (0, 0) комплексной плоскости. Позже мы рассмотрим ряд функций для работы с комплексными числами.

Контроль за числами

Числа могут служить объектами ввода, вывода и константами, входящими в математические выражения. Функция type(x, numeric) позволяет выяснить, является ли х числом. Если является, то она возвращает логическое значение true (истина), а если нет, то false (ложь). Например:

Функции type(x, integer), type(x, rational) и type(x, fraction) можно использовать для проверки того, имеет ли х значение соответственно целого числа, рационального числа или простой дроби:

  

 

 

Преобразования  чисел с разным основанием

В Maple возможна работа с числами, имеющими различное основание (base), в частности с двоичными числами (основание 2 — binary), восьмеричными (основание 8 — octal) и шестнадцатеричными (основание 16 — hex). Функция convert позволяет легко преобразовывать форматы чисел:

Помимо приведенных  вариантов функция convert имеет еще ряд других форм. С ними можно познакомиться с помощью справки по этой мощной функции. В дальнейшем будет приведен ряд других применений этой функции.

 

Данные множественного типа

Наборы (множества)

Любые выражения могут  включаться также в наборы. Такие  наборы в виде множеств создаются  с помощью фигурных скобок { }:

 

Отличительная черта  множеств — автоматическое устранение из них повторяющихся по значению элементов. Кроме того, Maple 7 расставляет элементы множеств в определенном порядке — числа в порядке увеличения значения, а символы и строки в алфавитном порядке. Для множеств нет строгого математического определения, и мы будем считать их наборами, удовлетворяющими перечисленным выше признакам.

Списки выражений

Для создания упорядоченных  наборов — списков — служат квадратные скобки [ ]: 

> [10,2+3.4+4,8,5,1]: [10,5,8,8,5,1]

Как нетрудно заметить, элементы списков преобразуются и выводятся  строго в том порядке, в каком  они были заданы. Списки широко применяются для задания векторов и матриц.

В ряде случаев, например при подготовке данных для двумерных  графиков, возникает необходимость  в подготовке парных списков —  скажем, координат точек (х, у) графика. Для этого можно использовать функцию zip(f, u, v) или zip(f, u, v, d). Здесь f — бинарная функция, u, v — списки или векторы, d — необязательное значение. Примеры применения функции zip даны ниже:

Рисунок 5.2 показывает применение этих средств для построения точек, представляющих множество действительных чисел на плоскости. Для этого использована функцияpointplot из пакета plots.

Массивы, векторы  и матрицы

Как отмечалось, важным типом  данных являются списки (lists). Они создаются  с помощью квадратных скобок, например:  

• [1,2,3,4] — список из четырех целых чисел; 
• [1. ,2.34,5] — список из двух вещественных и одного целого числа; 
• [а,b.'Привет'] — список из двух символов (переменных) и строковой константы; 
• [sin(x), 2*cos(x) ,a^{^}2-b] — список из трех математических выражений.

Для создания векторов (одномерных массивов) и матриц (двумерных массивов) служит функция array. Обычно она используется в следующих формах:

• аrrау[а. .b,sl] — возвращает вектор с индексами от а до b и значениями в одномерном списке si; 
• аrrау[а. .b,c. .d,s2] — возвращает матрицу с номерами строк от а до b, номерами столбцов от с до d и значениями в двумерном списке s2.

Рис. 5.2. Представление множества чисел на плоскости Примеры задания вектора и матрицы представлены ниже:

Двумерные списки часто  путают с матрицами. Следует помнить, что векторы и матрицы создаются с помощью функции array и являются отдельным типом данных. Элементами векторов и массивов могут быть константы, переменные, выражения, списки и иные объекты. Эти элементы являются индексированными переменными и их положение указывается индексами. Имеется множество функций для работы со списками, массивами и матрицами. Они будут рассмотрены в дальнейшем. В принципе, размерность массивов, создаваемых списками, не ограничена и массивы могут быть многомерными.

Таблицы

Еще одним важным типом множественных данных являются таблицы. Они задают данные с произвольной индексацией. Для создания таблиц служит функция table, которая при вызове в простейшем виде table[] создает шаблон пустой таблицы:

Пустая таблица резервирует  память под данные. Когда параметром функции table является список выражений, он выводится в естественном порядке расположения элементов таблицы, но с произвольным порядком индексации:

В конце приведенных  примеров показано, как можно выделить отдельные компоненты таблицы и вывести значения и индексы таблицы с помощью функций entries и indices. Следующие примеры показывают, что таблицу можно использовать для выполнения математических преобразований:

Следует внимательно  присмотреться к этим примерам —  они демонстрируют замену функции косинуса на отрицательный синус и синуса на косинус.

 

Строки и  комментарии

Строковые данные

Строки как тип данных — это просто цепочки символов. Они обычно используются для создания текстовых комментариев. Строки должны каким-либо образом выделяться, чтобы Maple не отождествляла их с именами констант и переменных. Для этого строки-комментарии имеют внутренний разделительный признак, который устанавливается при их вводе (нажатием клавиши F5, которое приводит к исчезновению знака >).

В других случаях последовательность символов рассматривается как строка, если она заключена в обратные апострофы, то есть в знаки '. Два апострофа подряд формируют апостроф как знак символьной строки, например `abc``def ` дает строку abc`def. Любое математическое выражение может входить в строку, разумеется, оно при этом не выполняется:

> '2+2 не всегда "четыре"'; 

2+2 не всегда 'четыре'

Неисполняемые программные  комментарии

Часто возникает необходимость  в задании программных комментариев. Любой текст после знака # рассматривается как невыводимый (неисполняемый) программный комментарий — даже если это математическое выражение. При этом он не вычисляется. Например:

> 2+3;#Это прииер. А это выражение не вычисляется: 4+5

.5

Комментарии полезны в программах на Maple-языке и обычно используются для объяснения особенностей реализованных алгоритмов.

 

Константы

Числовые константы

Константы - это простейшие именованные  объекты, несущие заранее предопределенные значения. Их имена (идентификаторы) также  заранее определены и не могут меняться. Подробную информацию о константах можно найти, исполнив команду ?constant.

Обычные числовые константы не имеют  имени и представлены просто числами, типы которых были указаны выше. Можно считать, что именем такой  константы является само ее значение. Например, в выражении 2*sin(1.25) числа 2 и 1.25 являются числовыми константами. При этом указание десятичной точки делает константу действительным числом — например, 2 — это целочисленная константа, а  2., 2.0 или 1.25 — это уже действительные константы.

Строковые константы

Строковыми константами  являются произвольные цепочки символов, заключенные в обратные апострофы, например 'Hello', 'Привет', 'My number' и т. д. Числа, заключенные в апострофы, например '123456', также становятся строковыми константами, которые нельзя использовать в арифметических выражениях. Строковые константы представляют значения строковых переменных. В них можно использовать символы кириллицы при условии, что соответствующий шрифт имеется.

Встроенные  в ядро константы

Есть также ряд констант, которые правильнее считать заведомо определенными глобальными переменными:  

• false — логическое значение «ложно»; 
• gamma — константа Эйлера, равная 0.5772156649...; 
• infinity — положительная бесконечность (отрицательная задается как infinity); 
• true — логическое значение «истинно»; 
• Catalan — константа Каталана, равная 0.915965594...; 
• FAIL — специальная константа (см. справку, выдаваемую по команде ?FAIL); 
• I — мнимая единица (квадратный корень из -1); 
• Pi — представляет константу  = 3.141...

Любопытно, что в этот список не входит основание натурального логарифма — число е. В качестве этой константы рекомендуется использовать ехр(1). Она отображается как жирная прямая буква Е. A exp(l.0) выводит 2.71828... (что и следовало ожидать).

Идентификация констант

Функции type(х, constant) и type(x, realcons) возвращают логическое значение true, если х представляет целочисленную или вещественную константу, и false, если х не является константой. Таким образом, эти функции можно использовать для идентификации констант, например: