Основные понятия теоретической механики

Задачи кинематики

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени. Любое движение рассматривается в определённой системе отсчёта. Также кинематика занимается изучением составных движений (движений в двух взаимно перемещающихся системах отсчёта).

 

17.18 1.       Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М (рис. 1).

Рис.1 

 

При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно,   является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента :

.                                         

Равенство определяет закон движения точки  в векторной форме, так как  оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий  вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое  место концов вектора  , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2.       Координатный способ задания движения точки.

Положение точки можно непосредственно  определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.1), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости 

, , .

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон  движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений  движения исключить параметр .

Нетрудно  установить зависимость между векторным  и координатным способами задания  движения.

Разложим  вектор на составляющие по осям координат:

 

где - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как  начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому

 

 

19. Используется тогда,  когда заранее известна траектория точки. Траекторию в этом случае считают криволинейной осью. На этой  оси ( как и на любой координатной )  выделяют начало отсчета и положительное направление отсчета.                                                 

 Положение точки на траектории  определяется ее дуговой координатой  s.

Зависимость дуговой координаты от времени,

которая в общем  виде записывается в виде  s = s(t),

называют  уравнением  или  законом  движения  точки.

 

20. Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

 

 

   т.е.  a=a_τ+a_n.   (1.10)

 

 

     В формуле (1.10)

 

 

     a_τ=τ⋅dV/dt=τ⋅d²S/dt², a_τ=dV/dt=τ⋅d²S/dt²- касательное ускорение; оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

 

 

     a_n=n⋅V²/ρ, a_n=V²/ρ - нормальное ускорение точки; характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

 

 

    ρ - радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности:ρ=R  , для прямой линии ρ=∞ ).

 

 

     Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

 

21.Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой _n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

 

22. Равнопеременное движение – это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

= ₀ + t

Общая формула для определения  проекции перемещения:

 

23. Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.

Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах  двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин  колеса обозрения относительно Земли 

 

 

 

 

 

 

24. Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

Вращение твердого тела, как целого характеризуется углом  , измеряющегося в угловых градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с) и угловым ускорением (единица измерения - рад/с²).

 

 

25.Вращательное движение с переменной  угловой скоростью называется  неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения  
(1) φ = φ₀ + ω₀t + εt²/2  
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,  
(2) ω = ω₀ + εt  
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела. φ = εt²/2;  
(6) ω = εt;  
(7) φ = ωt/2;  
(8) φ = ω²/(2ε).

 

27. В физике, при рассмотрении нескольких систем отсчёта (СО) возникает понятие сложного движения — когда материальная точка движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта.

абсолютное движение — это движение точки/тела в базовой СО.

относительное движение — это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.

переносное движение — это движение подвижной системы отсчета относительно базовой системы отсчета.

^[2] Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений. Например, переносная скорость — это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

 

28. сложение скоростей при сложном  движении точки. представляет собой математическую запись теоремы о сложении скоростей в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей. Модуль определяем по теореме косинусов

29. Абсолютное ускорение точки  в сложном движении равно геометрической  сумме ее переносного, относительного  и поворотного ускорений. Переносное ускорение - вычисляется, как если бы точка М покоилась по отношению подвижной системы осей (x1, y1, z1 = const) и перемещалась вместе с ними по отношению к неподвижной системе; 
- вычисляется, как если бы координаты x1, y1, z1 менялись, а векторы были постоянны. 
Последнее слагаемое называют п о в о р о т н ы м ускорением или ускорением Кориолиса - по имени французского ученого Гюстава Кориолиса (1792-1843).

, используя формулы Пуассона 
; ; , получим 
итак 
 
(1.87)

 
 
Формула абсолютного ускорения точки  в сложном движении принимает  следующий вид

 

30.аксиомы динамики. Ускорение а, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой F, имеет направление силы и по значению пропорционально ей . аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил.

Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится использовать аксиому независимости действия сил.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.

 

31. Силы, действующие на тело, можно  классифицировать по различным  признакам. 
 
Они могут быть внешними и внутренними. Внешние - это силы, которые прикладываются к телу за счет других тел. Внешние силы, распределенные по всему объему тела или его части, называют объемными или массовыми. Внешние силы, приложенные по поверхности, называют поверхностными.

Внутренними силами называют силы взаимодействия между частями твердого тела. Внешние  силы вызывают деформации тел, что приводит к возникновению уже внутренних сил.

Свойство 1. Главный вектор всех внутренних сил системы в любой момент времени равен 0.

Свойство 2. Главный момент всех внутренних сил системы (относительно всякого  центра 0) в любой момент времени  равен 0.

 

32. понятие  количества движения точки и  системы 
И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости: . Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе». И́мпульс си́лы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении).

 

 

33. Теорема об изменении количества движения материальной точки: 
(в дифференциальной форме): Производная за временем от количества движения материальной точки равняется геометрической сумме действующих на точки сил 
(в интегральной форме): Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.   

Теорема об изменении количества движения механической системы  
(в дифференциальной форме): Производная по времени от количества движения системы равняется геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. 
(в интегральной форме): Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же промежуток времени.

Теорема позволяет  исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы. 
    Теорема об изменении количества движения механической системы и теорема о движении центра масс являются двумя разными формами одной теоремы.

34. Теорема об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси

 

 

Формулировка теоремы: производная  по времени от кинетического момента  системы относительно неподвижной  оси   равна сумме моментов всех внешних сил относительно этой оси, т. е.

 

.        

 

 

35. Кинетический момент твердого тела относительно неподвижного центра можно определить как сумму двух составляющих: первая из них характеризует поступательную часть движения тела вместе с его центром масс, вторая - движение системы вокруг центра масс:

Если  тело совершает поступательное движение, то вторая составляющая равна нулю

.

Наиболее  просто вычисляется кинетической момент твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси 

,

где - момент инерции тела  относительно  оси вращения.

 

36. Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

 

37. Момент  инерции тела относительно данной  оси равен моменту инерции  относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс  тела, сложенному с произведением  массы всего тела на квадрат  расстояния между осями. 

 

38. изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении. При прямолинейном движении одной материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы работа (этой силы) равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины совершённого перемещения^[3]: