МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования 

«РОССИЙСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Филиал  РГГУ в г. Санкт-Петербурге

ФАКУЛЬТЕТ КУЛЬТУРОЛОГИИ 
 
 

Савченко  Вероника Алексеевна

МАТЕМАТИКА  В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

РЕФЕРАТ по ИСТОРИИ НАУКИ

студентки 2 курса группы КУ-21

 
 
 

Никифоров А. Л. 
 
 

Санкт-Петербург 2012

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

 

     В данном реферате рассматривается история математики в Древней Греции: ее зарождение, развитие, упадок. Актуальность данной темы обусловлена интересом современного человека к культуре и истории древних цивилизаций и к культуре Древней Греции в частности, а также, интерес к математике как к культурному явлению. Предметом изучения в данной работе является наука Древней Греции. Объект изучения – математика времен античности. 

     Как известно, математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком  большое. В странах-современниках  Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики".

     Греки проверили справедливость этого  тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже – механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, польза от которого - не только в установлении истинности утверждений, но также и в выявлении неочевидных связей между понятиями, научными фактами и областями математики.

     При создании новых и обобщении уже  существующих теорий математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. 

1. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ АНТИЧНОЙ НАУКИ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ

1.1 Школа Пифагора.

 

     Математика  как теория получила развитие в школе  Пифагора (571-479 гг. до н.э.).

     Главной заслугой пифагорейцев в области  науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.¹

     Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

     Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию  прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.

     Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они  владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.²

     Успехи  пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников - тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет).

     Однако  они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т.е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14).³

     Пифагорейцы знали также дробные числа  и в этой связи разработали  теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

1. 2  Школа Демокрита

 

     В V веке до н. э. появились новые вызовы оптимизму пифагорейцев. 
Первый из них - три классические задачи древности: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий - прямых и окружностей. Однако для перечисленных задач найти решение каноническими методами не удавалось. Алгебраически это означало, что не всякое число можно получить с помощью 4 арифметических операций и извлечения квадратного корня. Квадратурой круга безуспешно занимался выдающийся геометр-пифагореец, автор доевклидовых «Начал», первого свода геометрических знаний, Гиппократ Хиосский. 

     Первые  две задачи сводятся к кубическим уравнениям. Архимед позже дал  общее решение кубических уравнений  с помощью конических сечений. Однако многие комментаторы продолжали считали подобные методы неприемлемыми. Гиппий из Элиды (V век до н. э.) показал, что для трисекции угла полезна квадратриса (первая трансцендентная кривая в истории математики); она же, кстати, решает и задачу квадратуры круга (Динострат, IV век до н. э.).

     Помимо  перечисленных, греки активно исследовали  задачу деления круга: какие правильные многоугольники можно построить  циркулем и линейкой. Без труда  удавалось разделить окружность на 3, 4, 5, 15 частей, а также удвоить  перечисленные значения. Но семиугольник никому не поддавался. Как оказалось, здесь также получается кубическое уравнение. Полную теорию опубликовал только Гаусс в XIX веке.

     Второй  удар по пифагореизму нанёс Зенон  Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), из которых наиболее знамениты четыре. Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. Здесь затронуты самые деликатные вопросы оснований математики - конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи.

     В конце V века до н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель - Демокрит. Он знаменит не только созданием концепции атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл  объём пирамиды и конуса, но доказательств  своих формул не дал. Вероятно, Архимед  имел в виду доказательство методом исчерпывания, которого тогда ещё не существовало.

3. Платон, Евдокс (IV век до н. э.) 
   

      Уже к началу IV века до н. э. греческая  математика далеко опередила всех своих  учителей, и её бурное развитие продолжалось. В 389 году до н. э. Платон основывает в Афинах свою школу - знаменитую Академию. Математиков, присоединившихся к Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто получил своё математическое образование вне Академии, и на учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых - Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат.

      Сам Платон конкретных математических исследований не вёл, но опубликовал глубокие рассуждения  по философии и методологии математики. А ученик Платона, Аристотель, оставил бесценные для нас записки по истории математики. 
Евдокс Книдский первый создал геоцентрическую модель движения светил с 27 сферами. Позже эта конструкция была развита Аполлонием, Гиппархом и Птолемеем, которые увеличили число сфер до 34 и ввели эпициклы. Ему же принадлежат два выдающихся открытия: общая теория отношений (геометрическая модель вещественных чисел) и античный анализ — метод исчерпывания.

1. В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610-546 гг. до н.э.), преемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н.э. - расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи - это и есть бесконечность.⁴

      Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у  Анаксигора (около 500-428 гг. до н. э). В  сочинении “О природе" Анаксигор  писал: вещи бесконечно делимы, нет  последней ступени делимости  материи; с другой стороны, всегда имеется нечто большее, что является большим.

      Бесконечность для Анаксигора - потенциальная; она  существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В  математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин - величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

      Демокрит (около 560-570 гг. до н.э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней).

      Поскольку каждый роговидный угол “меньше" любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие  актуальной бесконечности.

      Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает  два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике.

      Понятие бесконечности подвергалось серьезной  критике со стороны Зенона Элейского (около 490-430 гг. до н.э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение - это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.

      Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и  лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени  дошло только 9.

      Заслуга Зенона Элейского в развитии философии  и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В.И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий.⁵

      Однако Зенон последнюю задачу не решил, как не решили её и другие ученые древней Греции.

2. ЗРЕЛОСТЬ  И УПАДОК ГРЕЧЕСКОЙ  МАТЕМАТИКИ

2.1 Зрелость греческой математики

 
 

     Период  зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н.э.).

     Наиболее  значительными фигурами этого периода  были:

1. Евклид (315-255 г. до н.э.)- автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала». «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона-Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах».

     Интересно отметить следующее:

1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида).
2. Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала.
3. Нет приложений.