В первой книге 23 определения, которыми фактически Евклид не пользуется, 5 постулатов и 9 аксиом. Постулаты носили геометрический характер и начинались со слов "требуется". Они отражали возможности построений множеств плоскости с помощью циркуля и линейки.

     В древнегреческой математике существовали требования, идущие от Платона.  
 
Математический объект считался существующим, если его удавалось построить с помощью циркуля и линейки. Знаменитые задачи древности с помощью циркуля и линейки решить не удавалось, поэтому они считались неразрешимыми. 
 
Вычислительная сторона математики не была достойна внимания греческих мыслителей.

2. Диофант (ок. 3 в. до н.э.)

     В конце II в. н.э. начинается закат греческой  математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика», по предположению, состоит из 13 книг (глав). 

     Главные заслуги Диофанта:

     1. Отказ от геометрической алгебры  древних греков. Введение буквенной  алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики.

     2. Расширение понятия числа.

     3. Заложил основы теории неопределённых  уравнений, которые приводят в  последствии к теории чисел.

     Если  древнегреческая геометрическая алгебра  имела дело со степенями не выше третьей, то Диофант это ограничение  фактически снимает.

     У Диофанта расширение понятия числа  наряду с положительными числами  появились отрицательные числа  и отрицательные показатели степеней. Диофант аксиоматически вводит умножения  степеней, которые в современной  форме имеют вид X^m*X^n = X^(m+n)

3. Архимед (ок. 287-212 г. до н.э.)

     Архимед был знаменитым механиком и математиком, главная особенность его математических работ в отличии от Евклида - приложение к механике.

     По  математике Архимедом выполнены  работы по вычислению площади и объёма (предварительно Архимед взвешивал различные пластины и тела), усовершенствовал метод исчерпывания, изложенным Евклидом -этим методом доказывается, что квадратуру круга , т.е. вычисление площади круга можно решить с помощью вписывания правильных многоугольников, неограниченно удваивая число их сторон, тогда площади таких многоугольников исчерпывают площадь круга.

     Интегральные  методы Архимед изложил в следующих  работах:

     1. «О шаре и цилиндре» 

     2. «О спиралях» 

     3. «О коноидах и сфероидах» 

     В этих работах он ввёл понятия верхних  и нижних сумм.  
В XIX веке эта идея воплощена Дарбу, разность площадей может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностью. В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.

4. Апполоний (260-170 г.до н.э.)

     Главный его труд «Конические сечения», посвящённый  изучению кривых второго порядка. Установил  характерные свойства эллипса, гиперболы  и параболы. Предшественником Апполония  был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н.э.), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов - остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения. В работах Апполония просматривается идея координат, где точки кривой "привязываются " к серединам диаметра кривых. Название кривых - фокус и ассимптоты даны Апполонием.⁶  

2.2 Упадок античной науки

      
В деятельности Евклида, Аполлония  Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.

     В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость  греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.⁷

     Третьей фазой упадка греческой математики была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.⁸

     Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой  математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н.э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков  сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. 
Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. 
Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию. 
В этих двух отношениях античная математика вполне современна.⁹

     В деятельности Евклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.

     В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость  греческого гения в удержании  национального направления оказывается  совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее. 

     СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

2. Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — 225-440 с.
3. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Перевод с голландского И.Н. Веселовского - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.
4. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире / М. Я. Выгодский - М., 1967. – 126 c.
5. Глейзер Г. И. История математики в школе / Г. И. Глейзер — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
6. Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе - М.: Просвещение, 1965. – 236-238 с.
7. Клайн М. Математика. Утрата определённости. / М. Клайн.  М., Мир, 1984. – 75 c.
8. Мотылева Л.С., Скоробогатов В.А. Концепции современного естествознания: Учебник для вузов / под ред. В.А. Скоробогатова – Спб.: Союз, 2002. – 87 с.
9. Нейгебауэр О. Точные науки в древности / О. Нейгебауэр. – М., Наука, 1968. – 145 c.
10. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / под ред. А. П. Юшкевича – М., 1976. – 116-271 c.