Пифагор және оның сандық ілімі

Пифагор және оның сан туралы ілімі

Ұлы ғалым Пифагор б.з.д. 570 жылы Самос аралында туған. Пифагордың әкесі Мнесарх зергер болған. Пифагордың анасының аты белгісіз. Көптеген жазбалар бойынша туған бала өте әдемі болған және өсе келе өзінің ерекше қабілетімен көзге түскен. Жас Пифагордың ұстаздарынан Гермодамант пен Ферекид Сиросскийді атауға болады(алайда Пифагордың алғашқы ұстаздары Гермодамант пен Ферекид екені нақты емес). Жас Пифагор күні бойы Гермодаманттың жанында жүріп, Гомердің жақсы әуендерді тыңдап өскен. Гомердің әуендерін Пифагор жадында мәңгі сақтады. Пифагорды ойшыл деп мойындағаннан кейін жас талант әр күнін оқушылардың арасында Гомердің әуенімен бастаған. Ферекид Италия мектебінің негізін қалаған философ болған. Осылай, Гермодамант Пифагорды музыкаға, Ферекид ғылымға үйреткен. Ферекид Пифагорға табиғат сенің алғашқы да басты ұстазың деген. Жас Пифагорға өз қиялын іске асыру үшін Самостар болды, сондықтан ол Милетке сапар шегіп, онда басқа ғалым – Фалесті кездестірді. Фалес оған білім алу үшін Египетке бар деп кеңес берді. Пифагор оның кеңесін жөн көрді. Пифагор б.з.д. 548 жылы үй – жай және тамақ табылатын Навкратис жеріне келді. Фараонның түсіндірме хатына қарамастан білгірлер Пифагорға өз құпияларын ашуға асықпай, оған қиын сынақтар қойды. Пифагор білімге деген құштарлығының арқасында сынақтардан оңай өтті. Ол кездегі Египет геометриясы жаратылыстану бағытындағы ғылым болғандықтан египеттік білгірлер оған көп нәрсені үйрете алмады. Білгірлер берген білімді меңгерген Пифагор өз Отанына Элладаға қашып кетті. Біраз жол жүрген Пифагорды үйіне қарай бет алып бара жатқан Вавилон билеушісі Камбиз тұтқынға алады. Пифагордың Вавилондағы өмірі аса қиын болған жоқ. Вавилон математикасы Египеттікіне қарағанда аса дамыған болатын және Пифагордың үйренетіні де көп еді. Бірақ б.з.д. 530 жылдары Кир Орта Азиядағы тайпаларға қарсы жорыққа шығады. Қаладағы бұл жағдайды пайдаланып Пифагор Отанына қашып кетеді. Бұл кезде Самос аралығындағы билік Поликрат патшаның қолында еді. әрине Пифагор жартылай құл ретінде өмір сүруді ұнатпады,сондықтан ол Самостың жанындағы үңгірге кетіп қалады. Бірнеше айдан соң Пифагор Кротонға көшіп келеді. Кротонда Пифагор өздерін пифагорлықтар деп атаған адамдардан діни одақ құрады. Ол әрі діни бірлестік,саяси клуб және ғылыми одақ болған. Пифагордың кейбір әдеттері үлгі алуға лайықты.

Пифагор сандары — натурал сандар үштігі, бұл сандар үшбұрыш қабырғаларының ұзындығына пропорционал (немесе тең) болса, онда үшбұрыш тікбұрышты болып табылады. Бұл үшін Пифагордың кері теоремасы бойынша ол сандардың х2+у2=z2 түріндегі диофант теңдеуін қанағаттандыруы жеткілікті (мыс., х=3, у=4, z=5). Өзара жай Пифагор сандарының кез-келген үштігі мына формулалар арқылы анықталады: х=m2—n2, у=2mn, z=m2+n2, мұндағы m және n — бүтін сандар (m>n>0). 

Пифагордың мектебіне тоқталайық. Мектептің ұраны: «Дүниенің барлығы  сандардан тұрады». Бұл мектептің  негізін салушы Пифагор Самосский (б. з. б. 570 - 500 ж. ш.). Ол Самос аралында туған, кейін оңтүстік Италиядағы Кротон қаласына көшкен, Фалестің шәкірті. Әкесі жан – жаққа сапарға шыққанда қасынан тастамай алып жүреді екен. Соның ықпалынан баланың бойында дүниені танып – білуге деген құштарлық ерте оянады. Пифагор – оның лақап аты «сиқырлы сөз иесі» деген мағынаны білдіреді, қандай пікір айтса да, иландырып, сөзіне ұйытып, үйіріп әкететін шешендігі үшін замандастары солай атаған. Білімге сусаған талапты жас философ, әрі ақын Ферекидтен тәлім алады, ол қайтыс болған соң Самосқа келіп, Гермодаманттан дәріс тыңдайды. Ғылымның тұңғиығына біржола ден қойған Пифагор Мысырға сапар шегеді. Мысырдың ғұлама абыздарымен еркін араласып, ғылым сырын терең меңгеруді мақсат етті. Небір сиқыршы, көріпкел даналармен тізе түйістіре жүріп, олардың өнерін үйренеді. Жер астындағы қасиетті үңгірлерге кіреді, әулиелер туралы ғажайып құпияларға қанығады. Білімі кемелденіп, 22 жылдан соң отанына оралады. Самосқа келіп, Поликраттың жүргізіп отырған жүгенсіз үстемдігін көреді де, түніліп, Италияның Кротон қаласына ірге тебеді. Пифагор бірінші рет ел алдына шығып, дәріс оқығанда өзіне 2000 шәкірт жинайды, олар үйлеріне қайтпай ұстаздың қасында қалып қояды. Сөйтіп, Пифагор мектебі құрылады. Сол мектепте Пифагор жергілікті тұрғындарға арнап заң жүйесін түзіп, өзінің шәкірттерімен бірге мемлекет ісін жүргізеді. Дана билігі үшін Пифагор зор даңққа бөленіп, шағын шаһардың (Кротон) «әділет патшалығы» аталады. Пифагордың түнгі толғаныстарын тыңдау үшін мыңдаған адам жиналатын болған. Даналықтың нұры шалқыған шабытты, ұзын ақ киімді, ұзын сақалды, алтынмен зерделенген бас киімді жүзін нәсіп жазып жақыннан көрген дүние сырына бойлап, тереңнен сүзген мәйекті ойларын тыңдаған адам өзін зор бақытқа кенелгендей сезінеді екен. Пифагор адамдар арасындағы достықты бәрінен жоғары бағалаған. «Дос үшін бәрі ортақ», «Достық дегеніміз – теңдік» деген қағиданы ұстанып, дос, шәкірт таңдауға қатаң талап қойған. Ямелихтің айтуынша, шәкірттер әуелі үш жыл сынақтан өтеді екен, одан кейін бес жыл шымылдық сыртында үн – түнсіз дәріс тыңдайды, содан соң барып ұстаздың жүзін көріп, ілімін еркін меңгеруге мұрсат алатын болған. Шәкірттеріне күнде ұйықтар алдында: Бүгінгі күнім қалай өтті? Не тыңдырдым? Нендей парызымды өтемедім? –  деп үш рет қайталауды міндет етіпті. Сондай-ақ ол «Досыңды қас емес,қасыңды дос қылатындай етіп қарым – қатынас жаса», «Ашу үстінде ештеңе айтпа, ештеңе істеме» деп өсиет қылады. Пифагор да оның шәкірттері де жалпы жаратылыс белгілі бір математикалық тәртіппен түзілген деп есептеді, әлемнің тылсым сырын сандар арқылы түсіндіруге тырысты. Аристотельдің: «...Пифагоршылар, әсілі, санды бәрінің бастауы, материя ретінде қабылдайтын тәрізді» деуі сондықтан. Пифагор математиканы дербес төрт салаға бөледі. Оларды грек тілінде «математа» деп атайды. Осыдан математика деген термин қалыптасты. Ол төрт сала: сан туралы ғылым (арифметика), фигуралар туралы ғылым (геометрия), аспан жөніндегі ғылым (астрономия) және музыка теориясы (гармония) Пифагор және пифагоршылар геометрияны тек қана практикалық қажеттіліктен туған есептерді шешу әдістерін баяндайтын практикалық геометриядан бүтіндей бөліп қарап, оны үшбұрыш, төртбұрыш, көпжақтар сияқты абстракциялық (дерексіз) фигуралардың қасиеттерін жан – жақты да жүйелі түрде зерттейтін ғылым дәрежесіне көтереді. Олар геометриялық теоремалардың шындығына тікелей өлшеу арқылы ғана емес, логикалық, дедуктивтік дәлелдеу арқылы көз жеткізіп отырған. Пифагор және оның жолын қуушыларға түзу сызықты фигуралардың планиметриясы түгелдей дерлік белгілі болған. Олар үшбұрыштардың, параллелограмдардың, шеңберлердің негізгі қасиеттерін тең шамалы фигуралар туралы теоремаларды және басқа көптеген фактілерді білген.

Пифагоршылар стереометрия жөнінде  де елеулі табыстарға жеткен. Олар төрт дұрыс көпжақтарды, яғни куб(6 жағы, 8 төбесі, 12 қыры бар), тетраэдр(4 жағы, 4 төбесі, 6 қыры бар), додекаэдр(12жағы, 20 төбесі, 30 қыры бар) және октоэдрді(8 жағы, 6 төбесі, 12 қыры бар) білген. Бесінші көпжақ – икосаэдрды(20 жағы, 12 төбесі, 30 қыры бар) кейінірек математик Теэтет ашқан. Додекаэдр жақтарының диагональдары «бесжұлдыз» фигурасын түзеді. Бес бұрышты жұлдыз салу ертеде жасырын ұсталған. Оны тек тұмар ретінде абыздар таратқан. Осы фигура – пифагоршылардың эмблемасы (айыру таңбасы) ретінде қабылданған. Оны есіктеріне жазған. Бұл туралы мынадай аңыз оқыдым: егер бір пифагоршы шет жерде жүріп біреуге қарыздар болып қалса, ол сол үйдің маңына бесжұлдыз таңбасын салып кетеді екен. Пифагор және оның шәкірттерінің еңбектерінде арифметика ғылымының негізі салынды. Олардың арифметикасы тек натурал сандардың қасиеттерін қарастырады. «Дүниенің бәрі – сан мен сандар үйлесімділігі» қағидасын ұстанған  пифагоршылардың ілімінде ерекше орында 1,2,3,4 сандары алған. Осы сандардың қосындысы (1+2+3+4=10) текрактис деп аталды. Аңыз бойынша пифагоршылардың анты: «текрактистің атынан жан дүниеммен ант етемін,...». текрактиске кіретін сандардың қосындысы онға тең, сондықтан 10 саны идеалды сан болып табылады, әлемді бейнелеп көрсетеді. Пифагор мен пифагоршылар бүкіл дүние он түрлі қарама – қарсы жұптардан тұрады деген. Олар: 1) шектілік пен шексіздік; 2) тақ пен жұп; 3) жалғыздық пен көптік; 4) оң мен сол; 5) ер мен әйел; 6) тыныштық пен қозғалыс; 7) түзу мен қисық; 8) жарық пен түнек; 9) жақсы мен жаман; 10) шаршы мен көпқырлылық. 

Пифагоршылар сандарды белгілі бір геометриялық фигура түрінде жинақталған нүктелер арқылы кескіндейтін болған. 

1+ 2 +3  + ... +n= n(n + 1)/2 – үш бұрышты сан

1 + 3 + 5+... +2(n – 1) = n² – квадрат сан

2 + 4 +6 + ... + 2 n = n(n + 1) – тік бұрышты сан

1 + 4 +7 +... +(3n – 2) = n(3n + 1)/2 – бес бұрышты сан 

Пифагор х² + у² = z²  анықталмаған теңдеуінің бүтін шешуін, яғни қазіргіше айтқанда: «пифагор сандарын табу ережесін» қалдырған. Олар мынадай формулалармен анықталады:

х = ½(m² – 1),  y = m, z = ½(m² + 1)

мұнда m – тақ  сан.

Пифагоршылар сандардың бөлінгіштік  қасиеттерін пайдаланып, екіге бөлінушілік, яғни егер екі санның әрқайсыс екіге  бөлінсе,онда олардың көбейтіндісі де екіге бөлінеді деген теорияны табады.

Олар арифметикалық, геометриялық және гармониялық пропорциялар мен орталарды көп қарастырады:        

 c= (a + b)/2 – арифметикалық орта,                     

               c= √ab – геометриялық орта                                                          

c= 2ab/(a + b) – гармониялық орта

«Екі санның гармониялық ортасын табу мәселесін» пифагоршылар «музыканың математикалық теориясымен» тығыз байланыстырып, негізгі музыкалық интервалдарды – октаваны, квинтаны, квартаны тағайындады. Бұл теория бойынша музыкалық дыбыстардың сапалық айырымы дыбыс шығаратын шектің ұзындықтарының айырымы арқылы түсіндіріледі. Музыкалық қадам (интервал) есебін шығаруда пифагоршылар 1-ен 9-ға дейінгі сандардың айналадағы сегізін алған да, ортадағы 5 санын қоспаған,оны ерекше аспандық сан деп білген. Пифагор музыкалық дыбыстарды сандар арқылы, ал музыкалық итервалды сандардың қатынастары арқылы кескіндеген. Мысалы, егер шекті екі есе ұзартсақ (немесе қысқартсақ), онда октава деп аталатын музыкалық интервал шығады (2:1). Ал осы екі шекпен де үндес (гармониялық) шектің ұзындық қатынасын табу үшін 1 мен 2-нің гармониялық ортасын есептеу керек, яғни  c = 2ab /(a + b) = 4/3  интервалы шығады. Бұл музыкалық интервал «кварта» деп аталады. Олар өлшемі әр түрлі металл пластинкалармен немесе түрлі деңгейде су толтырылған ыдыстарды бақылау арқылы да квартаға (4/3), квинтаға (3/2) және октаваға (2/1) сандық қатынастардың тән екеніне көз жеткізген. Пифагоршылар тон, жартылай тон, тіпті, оның одан да кішігірім бөлшектерінің өлшемін анықтауда жаңа еуропалық акустика өлшемінен де дәлірек белгіледі. Бұл физика – арифметикалық акустика концепсиясы бүкіл космосты қамтыды. Олардың түсінігінше аспан әлеміндегі он сфераның әрқайсысы материялық құрылымының қалпына, олардың құрамындағы денелердің геометриялық формаларының өзгешелігіне қарай өзіне тән дыбыс таратады. Сөйтіп, жалпы музыка ғылымын математиканың бір саласы ретінде қарастыру Пифагордан басталған. Қазіргі музыка теориясында «таза түзілім» немесе «Пифагор түзілімі» деген музыкалық шкала бар. Сонымен, Пифагор музыкалық дыбыстарды сандар арқылы, ал музыкалық интервалдарды сандардың қатынастары арқылы кескіндегенін көріп отырмыз.

Пифагор астрономия жөнінде де көп  еңбектенген ғалым. Ол Жерді шар  тәрізді деп білген әрі оны  әлем кіндігі деп қарайды. Сонымен  қатар ол Күн, Ай және басқа да планеталардың  да өз қозғалыстарының заңдылықтарын білу үшін де бүтін сандар мен олардың қатынастарына жүгінеді. Пифагордың пікірінше сандар барлық заттардың, ғарыштың негізі. Ғарыштың бастамасы деп отырған сандар ғарыш реттілігін, үйлесімділігін көрсетеді. Бұл үйлесімді аспан денелерінің бір сазды дыбысты белгілі бір интервалда шығаруынан білеміз. Бірақ ол дыбыстар үздіксіз шығып тұратындықтан және олардың бізге тұрақты әсер ететіндігінен біз оны қабылдай алмаймыз. әр планета Жерді айнала жүріп өздеріне тән дыбыс шығарады. Мысалы: Ай дыбысы – биік, ал Сатурн дыбысы – төмен. Осы екі дыбыс қосылғанда үйлесімді мелодия пайда болады.

Геометриялық, асторномиялық және музыкалық заңдылықтардың үнемі  бүтін сандар немесе олардың қатынастары  арқылы өрнектелуі – пифагоршылардың  сандарды асыра бағалап, сандарға табынуға, яғни кие тұтуға әкелді. Геометрия, астрономия, музыка – барлығы да арифметикаға бағынышты болды. Пифагор бірінші болып Эллада жұртына өлшем мен таразыны енгізген; бірінші рет Геспер мен Фосфордың бір жұлдыз екенін дәлелдеген. Сондай-ақ ол - өзінің өмір туралы ой-толғаныстарын «философия» (даналыққа құштарлық) деп атаған тұңғыш кемеңгер. Пифагор гректің Флиунт қаласына келгенде шаһар билеушісі Леонт одан: «Қай ғылымға жүйріксіз?» деп сұрайды. «Ешқандай. Мен тек философ қанамын», - дейді Пифагор. «Философия деген не?» дейді Леонт түсінбей. «Адам өмірін базармен не олимпиадалық ойынмен салыстыруға болады, - дейді сонда данышпан, - Базардағы саудагер мен сатып алушының әрқайсысы өз пайдасын көздейді. Сайысқа түсушілер атақ-даңқын аспандатудың қамын ойлайды. Бірақ бұлардың сыртында бәрін қалт жібермей бақылап отыратын көрермендер де бар емес пе. Адамдардың өмірі де осы тақылеттес. Жұрттың көбі байлық пен бақ қуып ала өкпе боп соның соңында жүреді, тек санаулы адамдар ғана дыр-ду тобырға араласпайды. Олар ақыл көзімен айналаны барлап, ақиқатты танып-білуге құмартады. Міне,сондай адамды философ – даналыққа әуестенуші», - дейді. Пифагорды біз тек ғалым, математик деп біледі екенбіз. Алайда, замандастары оны «әулие», «пайғамбар» тұтқан. Пифагор туралы мынадай әзіл – есеп бар: оның замандастарының бірі «Қанша шәкіртің бар?»,- деп сұрапты. Сонда Пифагор: «Менің оқушыларымның жартысы математиканы оқып үйренеді, ширегі музыканы үйренеді, ал 1/7 уақытты үнемі ойланып отырып өткізеді, қалғаны 3 қыз» деп жауап берген.

Қолданылған әдебиеттер:

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1982.
3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.
4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
6. Приложение «1сентября» , 2001. 
7. “Қазақ Энциклопедиясы”, VII-том