Теория вероятности: возникновение и развитие

  А. Муавр воспринял классическое определение  вероятности, данное Бернулли, и вероятность события определил почти в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: «Следовательно, мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель — число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность его появления».

     3. Предмет теории вероятностей

     Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

     Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

     Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

     Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

     По-иному  обстоит дело, если рассматриваются  случайные события, которые могут  многократно наблюдаться при  осуществлении одних и тех  же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число  однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется  определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

     Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

    4. Основные понятия теории вероятностей 

    Каждая  наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых  она базируется. Такие основные понятия  существуют и в теории вероятностей. В их качестве выступают: событие, вероятность  события, частота события или  статистическая вероятность и случайная  величина.

    Случайными  событиями называются такие события, которые могут произойти или не произойти при осуществлении совокупности условий, связанных с возможностью появления данных событий. 
      Случайные события обозначают буквами A, B, C,... . Каждое осуществление рассматриваемой совокупности называется испытанием. Число испытаний может неограниченно возрастать. Отношения числа m наступлений данного случайного события A в данной серии испытаний к общему числу n испытаний этой серии называется частотой появления события A в данной серии испытаний (или просто частотой события А) и обозначается Р*(А). Таким образом, P*(A)=m/n. 
      Частота случайного события всегда заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P*(A) ≤ 1. 
      Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты: наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно большим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах. 
      Именно это обстоятельство позволяет при изучении случайных событий применять математические методы, приписывая каждому массовому случайному событию его вероятность, за которую принимается то (вообще говоря заранее неизвестное) число, около которого колеблется наблюдаемая частота события. 
      Вероятность случайного события А обозначается через Р(А). Вероятность случайного события, как и его частота, заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P(A) ≤ 1.

    Случайная величина – это величина, характеризующая собой результат предпринятой операции и которая может принимать различные значения при различных операциях, какими бы однородными были условия их осуществления. 

5. Применение  теории вероятностей в современном мире

    Начать  по праву следует со статистической физики. Современное естествознание исходит из представления, согласно которому все явления природы  носят статистический характер и  законы могут получить точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Статистическая физика стала основой  всей современной физики, а теория вероятностей – ее математическим аппаратом. В статистической физике рассматриваются задачи, которые  описывают явления, определяющиеся поведение большого числа частиц. Статистическая физика весьма успешно  применяется в самых разных разделах физики. В молекулярной физике с  ее помощью объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – диэлектрические, проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать  теорию теплового излучения, молекулярного  рассеивания света. В последние  годы круг приложений статистической физики продолжает расширяться.

    Статистические  представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений  ядерной физики. Появление радиофизики  и изучение вопросов передачи радио  сигналов не только усилили значение статистических концепций, но и привели  к прогрессу самой математической науки – появлению теории информации.

    Понимание природы химических реакций, динамического  равновесия также невозможно без  статистических представлений. Вся  физическая химия, ее математический аппарат  и предлагаемые ею модели являются статистическими.

    Обработка результатов наблюдений, которые  всегда сопровождаются и случайными ошибками наблюдений, и случайными для наблюдателя изменениями  в условиях проведения эксперимента, еще в XIX столетии привела исследователей к созданию теории ошибок наблюдений, и эта теория полностью опирается  на статистические представления.

    Астрономия  в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи  в пространстве, изучение потоков  космических частиц, распределение  на поверхности солнца солнечных  пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в использовании статистических представлений.

    Биологи заметили, что разброс размеров органов  живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие  теоретико-вероятностные законы. Знаменитые законы Менделя, положившие начало современной  генетике, требуют вероятностно-статистических рассуждений. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника  и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики.

    Гуманитарные  науки объединяют очень разнообразные  по характеру дисциплины – от языкознания  и литературы до психологии и экономики. Статистические методы все в более  значительной мере начинают привлекаться к историческим исследованиям, особенно в археологии. Статистический подход используется для расшифровки надписей на языке древних народов. Идеи, руководившие Ж. Шампольоном при расшифровке древнего иероглифического письма, являются в основе своей статистическими. Искусство шифрования и дешифровки основано на использовании статистических закономерностей языка. Другие направления связаны с изучением повторяемости слов и букв, распределения ударений в словах, вычислением информативности языка конкретных писателей и поэтом. Статистические методы используются для установления авторства и изобличения литературных подделок. Например, авторство М.А. Шолохова по роману «Тихий Дон» было установлено с привлечением вероятностно-статистических методов. Выявление частоты появления звуков языка в устной и письменной речи позволяет ставить вопрос об оптимальном кодировании букв данного языка для передачи информации. Частота использования букв определяет соотношение количества знаков в наборной типографской кассе. Расположение букв на каретке пишущей машины и на клавиатуре компьютера, определяется статистическим изучением частоты сочетаний букв в данном языке .

      Многие проблемы педагогики и  психологии также требуют привлечения  вероятностно-статистического аппарата. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Без статистического анализа невозможно предвидеть изменение количества населения, его потребностей, характера занятости, изменения массового спроса, а без этого невозможно планировать хозяйственную деятельность.

    Непосредственно связаны с вероятностно-статистическими  методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия  занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества. По этой причине нет возможности проверить  качество каждого изделия. Поэтому  приходится судить о качестве партии по сравнительно небольшой части  выборки. Статистические методы используются и тогда, когда испытание качества изделий приводит к их порче или  гибели.

    Вопросы, связанные с сельским хозяйством, уже давно решаются с широким  использованием статистических методов. Выведение новых пород животных, новых сортов растений, сравнение  урожайности – вот далеко не полный список задач, решаемых статистическими  методами.

    Можно без преувеличения сказать, что  статистическими методами сегодня  пронизана вся наша жизнь. В известном сочинении поэта-материалиста Лукреция Кара «О природе вещей» имеется яркое и поэтическое описание явления броуновского движения пылинок:

«Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает 
В наши жилища и мрак прорезает своими лучами, 
Множества маленьких тел в пустоте, ты увидишь, мелькая, 
Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света; 
Будто бы в вечной борьбе они бьются в сраженьях и битвах. 
В схватки бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя. 
Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь. 
Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно 
Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся. 
Так о великих вещах помогают составить понятье 
Малые вещи, пути намечая для из достиженья, 
Кроме того, потому обратить тебе надо вниманье 
На суматоху в телах, мелькающих в солнечном свете, 
Что из нее познаешь ты материи также движенье»

    Первая  возможность экспериментального исследования соотношений между беспорядочным  движением отдельных частиц и  закономерным движением их больших  совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник Р. Броун открыл явление, которое по его имени названо «броуновским движением». Броун наблюдал под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивлению он обнаружил, что взвешенные в воде частицы находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удается прекратить при самом тщательном старании устранить какие либо внешние воздействия. Вскоре было обнаружено, что это общее свойство любых достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Броуновское движение – классический пример случайного процесса.

    6. Вероятность и воздушный транспорт

    В предыдущей главе мы рассмотрели  применение теории вероятности и  статистики в различных областях науки. В этой главе я бы хотела привести примеры применения  теории вероятностей на воздушном транспорте.

    Воздушный транспорт — понятие, включающее как собственно воздушные суда, так и необходимую для их эксплуатации инфраструктуру: аэропорты, диспетчерские и технические службы. Как известно, совершение полета –это результат совместной работы множества служб аэропорта, которые в своей деятельности используют различные области науки и практически во всех этих областях имеет место теория вероятности. Я бы хотела привести пример из области навигации, где теория вероятности также широко применяется.

    В связи с развитием спутниковых  систем навигации, посадки и связи  были введены новые показатели надежности как целостность, непрерывность, и готовность системы. Все эти показатели надежности количественно выражаются через вероятность.

    Целостность-степень  доверия к информации, получаемой от радиотехнической системы и применяемое  в дальнейшем воздушным судном. Вероятность целостности равна произведению вероятности отказа на вероятность необнаружения отказа и должна быть равна или меньше 10^-7 на час полета.

    Непрерывность обслуживания – это способность  полной системы выполнять свою функцию  без прерывания режима работы при  выполнении планируемой операции. Она должна быть не меньше 10^-4.

    Готовность-это  способность системы выполнять  свои функции к началу выполнения операции. Онам должна быть не меньше 0, 99.

Заключение

     Вероятностные идеи стимулируют в наши дни развитие всего комплекса знаний, начиная  от наук о не живой природе и  кончая науками об обществе. Прогресс современного естествознания неотделим  от использования и развития вероятностных  идей и методов. В наше время трудно назвать какую-либо область исследований, где бы не применялись вероятностные  методы.

    Список  литературы

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006 г.;

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. М: Высшая школа, 1998 г.;